Enunciado

Considere os seguintes objetos oscilado num plano vertical: aro circular de diâmetro l , suspenso de O a e placa circular homogênea de diâmetro l suspensa de O b . Compare os respsectivos períodos τ a e τ b com o período de oscilação τ de um pêndulo simples de comprimento l .

Passo 1

(a) O aro circular está oscilando em torno do ponto O a . A única força que produz torque em torno desse ponto é o peso do aro:

∑ τ = I θ ¨

E a componente da força peso está agindo a uma distância r do centro de rotação:

- m g sen ⁡ θ r = I θ ¨  

O sinal negativo aparece porque o peso age para diminuir o ângulo θ .

Passo 2

Agora precisamos calcular o momento de inércia do aro em relação ao ponto O a .

Nós já conhecemos o momento de inércia em relação ao centro, então só precisamos usar o teorema dos eixos paralelos:

I O a = I c + m d 2

Onde d = r é a distância entre C e O a :

I O a = m r 2 + m r 2

I O a = 2 m r 2

Substituindo na equação de cima:

- m g sen ⁡ θ r = 2 m r 2 θ ¨  

Dividindo por m r e aproximando sen ⁡ θ ≅ θ , ficamos com o seguinte:

2 r θ ¨ + g θ = 0

θ ¨ + g 2 r θ = 0

Como r = l / 2 , temos:

θ ¨ + g l θ = 0

Que é a equação de um oscilador harmônico com a seguinte frequência angular:

ω a = g l

E o seguinte período:

τ a = 2 π ω = 2 π l g

Que é exatamente o mesmo período τ de um pêndulo simples:

τ a = τ = 2 π l g

Passo 3

(b) Agora vamos fazer praticamente a mesma coisa para o outro caso. Temos a seguinte equação de torques:

- m g sen ⁡ θ r = I θ ¨

A única diferença é a expressão para o momento de inércia, que para uma placa homogênea é:

Então, pelo teorema dos eixos paralelos:

I O b = I c + m r 2

I O b = 1 2 m r 2 + m r 2 = 3 2 m r 2

E substituindo na equação:

- m g sen ⁡ θ r = 3 2 m r 2 θ ¨

Agora vamos substituir sen ⁡ θ ≅ θ e simplificar um pouco:

3 2 r θ ¨ + g θ = 0

θ ¨ + 2 g 3 r θ = 0

Fazendo r = l / 2 , ficamos com:

θ ¨ + 4 g 3 l θ = 0

Que dá a seguinte frequência angular:

ω b = 4 g 3 l

E o seguinte período:

τ b = 2 π ω = π   3 l g

Que comparado ao período τ do pêndulo simples é:

τ b = 3 2   2 π l g = 3 2 τ

Resposta

(a) τ a = τ .

(b) τ b = 3 2 τ .

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