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Duas partículas 1 e 2 de mesma massa m estão presas por molas de constante elástica k , comprimento relaxado l 0 e massa desprezível, a paredes verticais opostas, separadas de 2 l 0 ; as massas podem deslizar sem atrito sobre uma superfície horizontal. Tem-se m = 10   g e k = 100   N / m . No instante t = 0 , a partícula 1 é deslocada de 1 cm para a esquerda e 2 de um centímetro para a direita, comunicando-se a elas velocidades de magnitude 3   m / s , para a esquerda (partícula 1) e para a direita (partícula 2). (a) Escreva as expressões dos deslocamentos x 1 e x 2 das duas partículas para t > 0 . (b) As partículas irão colidir uma com a outra? Em que insatnte? (c) Qual a energia total do sistema?

Passo 1

(a) Primeiro queremos escrever as expressões dos deslocamentos das partículas. Já que as duas formam osciladores harmônicos simples, temos as seguintes expressões:

x 1 = A 1 cos ⁡ ω t + ϕ 1 x 2 = A 2 cos ⁡ ω t + ϕ 2

Onde ω = k / m = 100 / 0,01 ≅ 100   r a d / s .

Mas ainda precisamos encontrar os valores de ϕ e A para cada uma das funções.

Passo 2

Vamos começar pela partícula 1 , temos as seguintes condições iniciais:

x 1 0 = - 0,01   m x ˙ 1 0 = - 3   m / s

Estamos supondo que x é positivo para a direita. Pela primeira condição temos:

- 0,01 = A 1 cos ⁡ ϕ 1

E para aplicar a segunda, temos que derivar x 1 t :

x ˙ 1 t = - A 1 ω sen ⁡ ω t + ϕ 1

- 3 = - A 1 ω ϕ 1

Então temos um sistema (lembrando que ω = 100   r a d / s ):

- 0,01 = A 1 cos ⁡ ϕ 1 3 100 = A 1 sen ⁡ ϕ 1

Dividindo a segunda equação pela primeira podemos achar ϕ 1 :

- A 1 sen ⁡ ϕ 1 A 1 cos ⁡ ϕ 1 = 3 / 100 0,01

tan ⁡ ϕ 1 = - 3         ⇒         ϕ 1 = - π / 3  

Agora é só substituir isso na primeira equação para encontrar A 1 :

- 0,01 = A 1 cos ⁡ ϕ 1

- 0,01 = A 1 cos ⁡ - π 3

A 1 = - 0,02   m

Então a primeira equação é:

x 1 t = - 0,02 cos ⁡ 100 t - π 3

Passo 3

A partícula 2 tem a mesma equação geral da partícula 1 :

x 2 = A 2 cos ⁡ ω t + ϕ 2

A única diferença é que suas condições iniciais têm sinais trocados:

x 2 0 = 0,01   m x ˙ 2 0 = 3   m / s

Então, fazendo as mesmas substituições de antes, ficamos com:

0,01 = A 2 cos ⁡ ϕ 2 3 100 = - A 2 sen ⁡ ϕ 2

E dividindo as duas equações, encontramos o mesmo resultado de antes:

tan ⁡ ϕ 2 = - 3         ⇒         ϕ 2 = - π / 3  

E jogando na primeira equação, encontramos:

0,01 = A 2 cos ⁡ - π 3

A 2 = 0,02   m

Ou seja:

x 2 t = 0,02 cos ⁡ 100 t - π 3

Passo 4

(b) Agora queremos saber se as partículas irão colidir em algum instante. Só precisamos ver se nossas funções terão o mesmo valor em algum momento:

x 1 = x 2

- 0,02 cos ⁡ 100 t - π 3 = 0,02 cos ⁡ 100 t - π 3

A única solução para essa equação aparece quando os dois cossenos se anulam! Ou seja:

cos ⁡ 100 t - π 3 = 0

O cosseno se anula quando seu argumento vale π / 2 , então:

100 t - π 3 = π 2

t = 1 100 π 2 + π 3 = 1 100 5 π 6

t = π 120   s

Passo 5

(c) Vamos lembrar da fórmula para a energia de um oscilador harmônico:

E = k A 2 2

Então para o nosso sistema de duas molas, a e energia total é:

E T = k A 1 2 2 + k A 2 2 2

E T = k 2 A 1 2 + A 2 2

E T = 100 2 0,02 2 + 0,02 2 = 0,04   J

Resposta

(a) As expressões são x 1 t = - 0,02 cos ⁡ 100 t - π 3 e x 2 t = 0,02 cos ⁡ 100 t - π 3 .

(b) As partículas irão colidir no instante t = π 120   s .

(c) A energia total é E T = 0,04   J .

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