Enunciado

Considere um sistema de três partículas de mesma massa m , ocupando os vértices de um triangulo equilátero de lado d . (a) Calcule a força gravitacional que atua sobre cada partícula, em módulo, direção e sentido. (b) Mostre que as três partículas mantêm essa configuração triangular descrevendo órbitas circulares em torno do CM do sistema com velocidade angular ω . Calcule o valor de ω . Este caso particular solúvel do problema de três corpos foi considerado por Laplace.

Passo 1

Nessa aí a gente vai usar um pouquinho a ajuda dos vetores, então primeiro bora estabelecer um sistema de eixos pra botar essas partículas.

Com a ajuda desse gráfico, vamos calcular as forças que atuam nas partículas. Então, primeiro vamos olhar pra partícula 1 .

F 21 → = G m 2 d 2 1,0

F 31 → = G m 2 d 2 ( c o s 60 ° , s e n 60 ° )

A soma das duas é a força que atua na partícula!

F 1 → = G m 2 d 2 ( 1 + c o s 60 ° , s e n 60 ° )

F 1 → = G m 2 d 2 3 2 , 3 2

E o módulo dessa força é:

F 1 → = G m 2 d 2 3 2 2 + 3 2 2

F 1 → = G m 2 d 2 3

E qual é a direção dessa força? Ela faz um ângulo θ com o eixo x que vale:

θ = a r c t g 3 3

θ = 30 °

Que é exatamente a direção do centro de massa!!!

Passo 2

Para as outras duas, vamos seguir o mesmo padrão. Primeiro para a partícula 2 :

F 2 → = F 12 → + F 32 →

F 2 → = G m 2 d 2 - 3 2 ,   3 2

F 2 → = G m 2 d 2 3

E para a partícula 3 :

F 3 → = F 13 → + F 23 →

F 3 → = G m 2 d 2 0 ,   - 3

F 3 → = G m 2 d 2 3

Passo 3

A força gravitacional é a única que atua no corpo, então ela vai ser igual à resultante centrípeta!

m ω 2 r = G m 2 d 2 3

O raio de giração é a distância até o centro de massa, igual a d 3 3 .

m ω 2 d 3 3 = G m 2 d 2 3

ω 2 = 3 G m d 3

ω = 3 G m d 3

Resposta

F 1 → = F 2 → = F 3 → = G m 2 d 2 3

ω = 3 G m d 3

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