Enunciado

Uma partícula se move no plano xy sob a ação da força F 1 = 10 ( y   i ^ - x   j ^ ) , onde | F 1 | é medido em N, e x e y em m. a) Calcule o trabalho realizado por F 1 ao longo do quadrado indicado na figura. b) Faça o mesmo para F 2 = 10 ( y   i ^ + x   j ^ ) . c) O que você pode concluir a partir de a) e b) sobre o caráter conservativo ou não de F 1 e F 2 ? d) Se uma das duas forças parece ser conservativa, procure obter a energia potencial U associada, tal que F =   -grad U.

Passo 1

  1. Para calcular o trabalho vamos escrever os vetores deslocamento de cada parte do trajeto. Vamos começar na origem e seguir as setas enumerando elas de 1 a 4.
  2. r ⃑ 1 = d x   i ^             {   0 ≤   x ≤ 1 }

    r ⃑ 2 = d y   j ^           { 0 ≤ y ≤ 1 }

    r ⃑ 3 = d x   i ^         {   1 ≤ x ≤ 0 }

    r ⃑ 4 = d y   j ^       { 1 ≤ y ≤ 0 }

    W t o t a l   d e   F 1 = W 1 + W 2 + W 3 + W 4

    No caso genérico, temos isso aqui ó

    W = ∫ a b F ⃑ ⋅ d r ⃑

    Vamos agora aplicar para cada parte da trajetória

    W 1 =   ∫ 0 1 10 y   i ^ - x   j ^ ⋅ d x   i ^

    Tendo em mente essas continhas abaixo vamos conseguir fazer tudo de boa, chega mais!

    j ⋅ i = 0

    i ⋅ i = 1

    j ⋅ j = 1

    Vamos aplicar distributivas para resolver a parte de dentro da integral, nesse caso por exemplo temos

    10 y   i ^ ⋅ d x   i ^ - x   j ^ ⋅ d x   i ^ = 10 y   d x     i ^ ⋅ i ^ - x d x     j ^ ⋅ i ^

    = 10 y   d x

    W 1 =   ∫ 0 1 10 y   d x      

    = 10 y

    (   n a   t r a j e t ó r i a   y = 0 )

    = 0

    W 2 = ∫ 0 1 10 y   i ^ - x   j ^ ⋅ d y   j ^  

    = ∫ 0 1 - 10 x   d y  

    =   - 10 x

    (   n a   t r a j e t ó r i a   x = 1 )

    = - 10

    W 3 = ∫ 1 0 10 y   i ^ - x   j ^ ⋅ d x   i ^  

    = ∫ 1 0 10 y   d x

    = - 10 y

    (   n a   t r a j e t ó r i a   y = 1 )

    = - 10

    W 4 = ∫ 1 0 10 y   i ^ - x   j ^ ⋅ d y   j ^

    ∫ 1 0 - 10 x   d y  

    = 10 x

    (   n a   t r a j e t ó r i a   x = 0 )

    = 0  

    W t o t a l =   0 - 10 - 10 + 0 =   - 20   J

    Passo 2

  3. Aqui a ideia é a mesma, só vamos mudar a fórmula da força, tranquilo? Fica assim
  4. W 1 =   ∫ 0 1 10 y   i ^ + x   j ^ ⋅ d x   i ^

    W 1 = 10 y

    (   n a   t r a j e t ó r i a   y = 0 )

    W 1 = 0

    W 2 = ∫ 0 1 10 y   i ^ + x   j ^ ⋅ d y   j ^  

    = ∫ 0 1 10 x   d y  

    =   10 x

    (   n a   t r a j e t ó r i a   x = 1 )

    = 10

    W 3 = ∫ 1 0 10 y   i ^ + x   j ^ ⋅ d x   i ^  

    = ∫ 1 0 10 y   d x

    = - 10 y

    (   n a   t r a j e t ó r i a   y = 1 )

    = - 10

    W 4 = ∫ 1 0 10 y   i ^ + x   j ^ ⋅ d y   j ^

    ∫ 1 0 10 x   d y  

    = - 10 x

    (   n a   t r a j e t ó r i a   x = 0 )

    = 0  

    W t o t a l =   0 + 10 - 10 + 0 =   0   J

    Passo 3

  5. Se o trabalho for de uma força conservativa, ao retornamos ao mesmo ponto inicial, independente da trajetória, o trabalho resultante será nulo. Assim a gente conclui que a força 1 não é conservativa, tranquilo? Já a força 2 atende a esse requisito, mas não quer dizer que ela é necessariamente conservativa. Caso ela seja a gente vai encontrar uma funçãozinha potencial, show?
  6. Passo 4

  7. Nossa força é dada por F ⃑ 2 = 10 y   i ^ + x   j ^ = ( 10 y , 10 x )

Como   F ⃑ 2 = - ∇ ⃑ U

→    

  F ⃑ 2 =   - ∂ U ∂ x   ,   - ∂ U ∂ y  

10 y =   - ∂ U ∂ x

Integrando os dois lados em x temos

U ( x , y ) = - ∫ 10 y   d x

= - 10 x y + C

( a q u i   C = g y ,   p o i s   q u a n d o   d e r i v a m o s   e m   r e s p e i t o   x   s e   t o r n a   0 )  

Vamos derivar nossa função encontrada U ( x , y ) com respeito a y

∂ - 10 x y + g y ∂ y = - 10 x + g ' ( y )

Agora igualamos à componente correspondente da força. Fica assim,

- 10 x + g ' y =   - 10 x

→      

g ' y =   0

→      

g y = K

Nossa função potencial fica então U x , y = - 10 x y + K , se escolhermos uma delas em que K = 0 temos U x , y =   - 10 x y

Resposta

a ) W =   - 20   J

b )   W = 0   J

c )   F 1   n ã o   p o d e   s e r   c o n s e r v a t i v a .   F 2   p o d e   s e r

d )   U x , y = - 10 x y

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