Enunciado

Um satélite em uma órbita circular de raio r tem período T. Em uma órbita próxima de raio r + Δ r , onde Δ r ≪ r , outro satélite apresenta período levemente diferente, T + Δ T .

  1. Demonstre que
  2. Δ T T = 3 2 Δ r r

  3. Dois satélites terrestres estão em órbitas paralelas de raios 6.700   k m e 6.701   k m . Um dia eles passam um pelo outro, a 1 km de distância ao longo de uma linha radialmente externa à Terra. Quanto tempo transcorrerá até que eles se encontrem novamente a 1 km de distância?

Passo 1

Temos um problema de um corpo (no caso um satélite) orbitando um outro corpo de massa muito maior (no caso um planeta). Nesse caso, o satélite irá descrever uma órbita circular (ou elíptica, mas o enunciado deixa claro que a órbita é circular!). A velocidade do satélite pode ser calculada! Para tal, basta repararmos que a força gravitacional é uma componente centrípeta, como mostra a figura abaixo.

Assim, temos que

G m M r 2 = m v 2 r v = G M r

Note que a velocidade é constante durante o movimento circular. Sendo assim, temos que:

T = 2 π r v T = 2 π r G M / r = 2 π r 3 G M

Vamos usar essa última equação para resolver a questão!!

Passo 2

  1. Notemos que:
  2. T = 2 π r 3 G M

    E

    T + Δ T = 2 π r + Δ r 3 G M

    Porém, vamos usar a seguinte aproximação:

    1 + x n ≈ 1 + n x

    Essa aproximação é válida apenas quando x ≪ 1 (ou seja, x é muito menor do que 1 ). Assim, temos:

    T + Δ T = 2 π r + Δ r 3 G M T + Δ T = 2 π r 3 1 + Δ r r 3 G M T + Δ T = 2 π r 3 G M ⋅ 1 + Δ r r 3 2

    Como Δ r ≪ r ⟹ Δ r r ≪ 1 . Logo, podemos usar a aproximação citada acima; além disso, usando 2 π r 3 G M = T , temos:

    T + Δ T = T 1 + 3 2 ⋅ Δ r r T + Δ T = T + 3 2 Δ r r T Δ T = 3 2 Δ r r   T Δ T T = 3 2 ⋅ Δ r r

    que é o que queríamos provar!!

    Passo 3

  3. Note que as órbitas são muito próximas... assim, podemos usar o resultado anterior.

Temos que:

T = 2 π r 3 G M T = 2 3,14 6700 × 10 3 3 6,67 × 10 - 11 5,98 × 10 24 T = 5456   s

Para o outro satélite, temos Δ r = 1   k m (note que 1   k m ≪ 6700   k m ). Logo, aplicando o resultado do item a:

Δ T 5456 = 3 2 ⋅ 1 6700 Δ T = 1,22   s

Logo,

T 2 = T + Δ T

Assim, a velocidade angular do primeiro satélite é:

ω 1 = 2 π T

A velocidade angular do segundo satélite é:

ω 2 = 2 π T + Δ T

Assim, podemos escrever as equações do movimento circular para esses satélites:

θ 1 = ω 1 t = 2 π T t

θ 2 = ω 2 t = 2 π T + Δ T t

Os satélites vão se encontrar novamente quando:

θ 1 - θ 2 = 2 π 2 π T t - 2 π T + Δ T t = 2 π t T - t T + Δ T = 1 t 1 T - 1 T + Δ T = 1 t 1 T - 1 T 1 + Δ T T = 1 t T 1 - 1 + Δ T T - 1 = 1

Vamos usar novamente a aproximação dada no Passo 2:

t T 1 - 1 - Δ T T = 1 t ⋅ Δ T T 2 = 1 ⟹ t = T 2 Δ T

Portanto, segue que o tempo necessário será:

t = 5456 2 1,22 t = 282   d i a s

onde dividimos o resultado por 86.400 para obter o tempo em dias!

Resposta

Irá demorar 282 dias.

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