Enunciado

Considere um vetor a → no sentido positivo do eixo x , um vetor b → no sentido positivo do eixo y e um escalar d . Qual é a orientação de b → / d se d é (a) positivo e (b) negativo? Qual é o mnódulo de (c) a → ∙ b → e (d) a → ∙ b → / d   ? Qual é a orientação (e) de a → ∙ b → e (f) b → ∙ a → ? (g) Qual é o módulo de a → × b → ? (h) Qual é o módulo de b → ∙ a → ? Qual é(i) a amplitude e (j) a orientação de a → × b → / d se d é positivo?

Passo 1

(a) Por enquanto nós só sabemos que a → aponta no sentido positivo de x e b → aponta no sentido positivo de y :

Quando dividimos o vetor b → por um escalar d , a sua direção sempre continua igual. Mas a sua magnitude e o seu sentido podem mudar.

No caso em que d é positivo, o sentido de b → / d continua o mesmo (apontando para cima), mas a sua magnitude pode aumentar (se 0 < d < 1 ), continuar igual ( d = 1 ) ou diminuir ( d > 1 ).

Ou seja, b → / d aponta no sentido positivo do eixo y .

Passo 2

(b) No caso em que d é negativo, o sentido do vetor vai se inverter: ele vai apontar na vertical para baixo. E assim como antes, sua magnitude pode aumentar ou diminuir.

Passo 3

(c) Agora vamos fazer o produto escalar de a → e b → .

Como os dois vetores são perpendiculares, o seu produto escalar é sempre nulo:

a → ∙ b → = 0

Se não lembrar disso, você pode usar a fórmula para o produto escalar:

a → ∙ b → = a b cos ⁡ θ

Onde a é o módulo do vetor a → , e assim por diante, e θ é o ângulo formado pelos dois vetores. No caso em que θ = 90 ° :

a → ∙ b → = a b cos ⁡ 90 ° = 0

Passo 4

(d) Agora queremos calcular o módulo do seguinte produto escalar:

a → ∙ b → d

Como vimos lá em cima, dividir um vetor por um escalar nunca altera a direção do vetor.

Isso quer dizer que os vetores vão continuar sendo perpendiculares, e então o produto escalar vai continuar sendo nulo.

Passo 5

(e) Para descobrir a orientação do produto vetorial, temos que usar a regra da mão direita.

a → × b →

Ao contrário do produto escalar, o produto vetorial produz um vetor. E a regra da mão direita é quem dá a orientação desse vetor. Essa regra é muito usada na física. Você só precisa seguir alguns passos.

Aponte o seu indicador na direção e sentido do vetor a → , e o seu dedo médio na direção e sentido do vetor b → . Agora estenda o seu polegar.

A direção para onde o seu polegar aponta é a direção do produto vetorial.

Agora seu polegar deveria estar apontando para fora da página, em uma direção perpendicular aos dois vetores.

Passo 6

(f) Agora vamos mudar um pouco as coisas:

b →   × a →

Quando trocamos a ordem de um produto vetorial ( b → × a → ao invés de a → × b → ) a única diferença no resultado é o sinal.

Ou seja, se antes o resultado era um vetor perpendicular ao plano da página e saindo dela, agora o resultado é um vetor entrando nela.

Outra forma de ver isso é usando a regra da mão direita mais uma vez:

Passo 7

(g) Agora queremos calcular o módulo de a → × b → . Vamos lembrar da fórmula para o módulo de um produto vetorial:

a → × b → = a b sen ⁡ θ

Onde θ é o ângulo formado pelos dois vetores. Nesse caso, θ = 90 ° , então:

a → × b → = a b

Passo 8

(h) E o que acontece com o módulo quando trocamos a ordem do produto vetorial?

b → × a → = b a sen ⁡ θ

O ângulo continua sendo θ = 90 ° :

b → × a → = b a

Como a b = b a , o módulo continua igual.

Passo 9

(i) Queremos calcular outro módulo de um produto vetorial. Vamos usar a mesma fórmula de antes:

a → × b → d = a   b → d sen ⁡ θ

O módulo do vetor b → / d é simplesmente o módulo de b → dividido pelo escalar d . Além disso, já que a divisão por escalar não muda a direção de um vetor, o ângulo continua sendo θ = 90 ° .

Então:

a → × b → d = a b d

Passo 10

(j) Agora queremos saber a orientação desse produto vetorial:

a → × b → d

Já vimos que a divisão por escalar não altera a direção do vetor. E quanto o escalar é positivo, essa divisão também não altera o sentido.

Ou seja, esse produto vetorial terá a mesma orienação que o produto a → × b → : estará saindo do plano da página.

Resposta

(a) Sentido positivo do eixo y .

(b) Sentido negativo do eixo y .

(c) Zero.

(d) Zero.

(e) O vetor é perpendicular ao plano da página, saindo dela.

(f) O vetor é perpendicular ao plano da página, entrando nela.

(g) O módulo do produto vetorial é a b .

(h) O módulo do produto vetorial é a b .

(i) A amplitude é a b / d .

(j) A orientação é perpendicular ao plano da página, saindo dela.

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