Enunciado

Quando um trem de passageiros de alta velocidade que se move a 161   k m / h faz uma curva, o maquinista leva um susto ao ver que uma locomotiva entrou indevidamente nos trilhos através de um desvio e se encontra a uma distância D   =   676   m à frente (Fig. 2   - 29 ). A locomotiva está se movendo a 29,0   k m / h . O maquinista do trem de alta velocidade imediatamente aciona os freios. (a) Qual deve ser o valor mínimo do módulo da desaceleração (suposta constante) para que a colisão não ocorra? (b) Suponha que o maquinista está em x   =   0   quando, no instante t   =   0 , avista a locomotiva. Desenhe as curvas de x ( t ) da locomotiva e do trem de alta velocidade para os casos em que a colisão é evitada por pouco e a colisão ocorre por pouco.

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, primeiro vamos definir nossas variaveispra gente não se confundir: v 0 T é a velocidade inicial do trem; v t é a velocidade final do trem; a é a aceleração do trem; Δ x t o deslocamento do trem; v l a velocidade da locomotiva e Δ x l o deslocamento da locomotiva. Belezera, então bora lá resolver.

Passo 2

Então primeiro, vamos usar a equação de Torricelli para o trem:

v t 2 = v 0 t 2 + 2 a Δ x t

Onde o deslocamento do trem Δ x t vai ser igual a distância D mais o deslocamento da locomotiva Δ x l = v l . t :

v t 2 = v 0 t 2 + 2 a ( D + v L . t )

Podemos também estabelecer uma relação entre a aceleração, tempo e velocidade para o trem: t = ( v t - v 0 t ) / a , de modo que a equação se torna:

v t 2 - v 0 t 2 = 2 a [ D + v L . v t - v 0 t a ]

E lembrando do produto notável a 2 - b 2 = a + b a - b , podemos abrir a relação da velocidade como:

v t - v 0 t . ( v t + v 0 t ) = 2 a D + 2 . v L . v t - v 0 t

Logo:

v t - v 0 t . ( v t + v 0 t ) - 2 . v L . v t - v 0 t = 2 a D

E agora colocando v t - v 0 t em evidência, vemos que:

v t - v 0 t . ( v t + v 0 t - 2 . v L ) = 2 a D

a = v t - v 0 t . ( v t + v 0 t - 2 . v L ) 2 D

Passo 3

Belezoca, então para que a aceleração seja mínima é preciso que a velocidade do trem quando chegar até a locomotiva seja igual à da locomotiva v t = v L . Agora é só substituirmos isso na equação e dar uma arrumadinha, saca só:

a = v t - v 0 t . ( v t + v 0 t - 2 . v L ) 2 D

a = v L - v 0 t . ( v L + v 0 t - 2 . v L ) 2 D = v L - v 0 t . ( v 0 t - v L ) 2 D

a = - v L - v 0 t 2 2 D

Passo 4

Então quer dizer que descobrimos a fórmula que define a aceleração nesse caso, agora vamos passar as velocidades para metros por segundo e substituir na equação.

v L = 29,0   km/h = 8,05   m/s ,     v t = 161   km/h = 44,7   m/s

D = 676   m

Logo a aceleração será:

a = - 8,05 m / s   - 44,7 m / s 2 2 . ( 676 m ) = - 0,993   m / s 2

Então o módulo da aceleração vai ser: a = 0,993   m / s 2 :

Resposta

R: 0,993   m / s 2

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