Enunciado

Construtores de pirâmides. Construtores de pirâmides da antiguidade estão equilibrando uma laje de pedra homogênea e retangular, que está tombada a um ângulo θ acima do plano horizontal, usando uma corda (Figura 11.61). A corda é segurada por cinco trabalhadores que dividem igualmente a força.

a) Se   θ = 20 ° , qual força cada trabalhador exerce sobre a corda?

b) À medida que θ aumenta, cada trabalhador tem que exercer mais ou menos força do que no item (a), supondo que eles não mudem o ângulo da corda? Por quê?

c) Qual o ângulo em que os trabalhadores não precisarão mais exercer nenhuma força para equilibrar a laje? O que ocorre, se θ exceder esse valor?

Passo 1

Para o equilíbrio já sabemos que ∑ τ = 0 . Vamos considerar a representação que envolve os ângulos

Calcunando a tangente, temos

tan ⁡ β = 3,75 1,75 = 65 °

Agora, vamos somar com os outros ângulos para acharmos o α

20 ° + β + α = 90 °

20 ° + 65 ° + α = 90 °

α = 5 °

Para a distância do eixo ao centro do bloco, aplicamos aquele velho Teorema do Tio Pit

a 2 = b 2 + c 2

a = b 2 + c 2

a = ( 3,75 2 ) 2 + ( 1,75 2 ) 2

a = 2,07   m

Aplicaremos ∑ τ = 0 , para encontrarmos a força que cada trabalhador exerce sobre a corda

w 2,07   m sin ⁡ 5 ° - T 3,75   m sin ⁡ 52 ° = 0

T 3,75   m sin ⁡ 52 ° = w 2,07   m sin ⁡ 5 °

T = w 2,07   m sin ⁡ 5 ° 3,75   m sin ⁡ 52 °

T = 0,061   w

Passo 2

Para o item (b) temos que à medida que θ aumenta, o braço do momento para w diminui e o braço do momento para T aumenta, então o trabalhador precisa exercer menos força.

Passo 3

Para que os trabalhadores não exerçam nenhuma força para equilibrar a laje, o ângulo seria de quanto??

O valor de T tenderia a zero quando w passa pelo ponto de suporte, ficaria então

A tangente do ângulo já seria

tan ⁡ θ = 1,75 2 3,75 2

θ = 25 °

Resposta

a) T = 0,061   w

b) o trabalhador precisa exercer menos força.

c) θ = 25 °

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