Enunciado

Uma barra de cobre horizontal e uniforme possui comprimento inicial l 0 , área da seção reta A, módulo de Young Y e massa m. Ela é suportada por um pivô sem atrito em sua extremidade direita e por um cabo em sua extremidade esquerda. Tanto o pivô como o cabo são ligados de modo que exerçam forças distribuídas uniformemente sobre a seção reta da barra. O cabo faz um ângulo θ com a barra e a comprime.

a) Ache a tensão exercida pelo cabo e pelo pivô sobre a barra.

b) Calcule a variação de comprimento da barra provocada por essa tensão.

c) A massa da barra é ρ A l , onde ρ é a densidade. Mostre que as respostas de (a) e de (b) são independentes da seção reta da barra.

d) A densidade do cobre é igual a 8900   k g / m 3 . Considere o valor de Y dado na Tabela 11.1. Ache a tensão e a variação de comprimento para um comprimento original de 1,8 m e um ângulo de 30º.

e) Qual é o fator pelo qual você deveria multiplicar as respostas do item (d), se a barra tivesse o dobro do comprimento?

Passo 1

Para acharmos a tensão lembramos que eles estão relacionados, certo? De modo que a tensão T no cabo está relacionada ao peso

T = P

O cabo faz um ângulo θ com a barra. Esta possui um comprimento inicial, então

T ( sin ⁡ θ ) l 0 = m g l 0 2

Isolando, temos

T = m g 2 ( sin ⁡ θ )

O componente horizontal da força que o cabo exerce sobre a haste e, portanto, o componente horizontal da força que o pivô exerce sobre a haste é

m g 2 cot ⁡ θ

E a tensão...

m g 2 A cot ⁡ θ

Para acharmos a variação de comprimento da barra provocada por essa tensão do item (b), é só substituirmos em

∆ l = l 0 F ⊥ Y A

∆ l = m g l 0 cot ⁡ θ 2 A Y

Esse Δl será a diminuição no comprimento.

Passo 2

No item (c), se a massa da barra é ρ A l , quanto à massa e comprimento

m = ρ A l

m A = ρ l 0

Então a tensão ficaria

T = ρ A l 0 g 2 A cot ⁡ θ

T = ρ l 0 g 2 cot ⁡ θ

E a mudança de comprimento,

∆ l = ρ A l 0 g l 0 2 A Y cot ⁡ θ

∆ l = ρ l 0 2 g 2 Y cot ⁡ θ

Passo 3

Calculando a tensão com valores numéricos do item (d), temos

T = ( 8900   k g / m 3 ) ( 1,8   m ) ( 9,8   m / s 2 ) 2 cot ⁡ 30 °

T = 1,4 × 10 5 P a

E a mudança de comprimento,

∆ l = ( 8900   k g / m 3 ) ( 1,8   m ) 2 ( 9,8   m / s 2 ) 2 ( 11 ×   10 10 ) cot ⁡ 30 °

∆ l = 2,2 × 10 - 6 m

O fator pelo qual deveria se multiplicar essas respostas, se a barra tivesse o dobro do comprimento seria de 2 e 4, já que a tensão é proporcional ao comprimento e a alteração no comprimento é proporcional ao quadrado do comprimento.

Resposta

a) m g 2 A cot ⁡ θ

b) ∆ l = m g l 0 cot ⁡ θ 2 A Y

c) T = ρ l 0 g 2 cot ⁡ θ e ∆ l = ρ l 0 2 g 2 Y cot ⁡ θ

d) T = 1,4 × 10 5 P a e ∆ l = 2,2 × 10 - 6 m

e) O fator pelo qual deveria se multiplicar essas respostas, se a barra tivesse o dobro do comprimento seria de 2 e 4.

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