Enunciado

Recuo da Lua. Medidas cuidadosas da distância entre a Terra e a Lua indicam que o nosso satélite está atualmente se afastando de nós em aproximadamente 3,0 cm por ano. Despreze qualquer momento angular que possa ser transferido da Terra para a Lua. Calcule a taxa de variação (em rad/s ao ano) da velocidade angular lunar em torno da superfície terrestre. A sua velocidade angular está aumentando ou diminuindo? (Sugestão: Se L é constante, então dL/dt = 0.)

Passo 1

O momento de inércia é dado por:

L = I ω

L = m R 2 ω

Derivando essa equação em função do tempo:

d L d t =   d ( m R 2 ω ) d t

Fazendo a regra da cadeia, teremos:

d ( m R 2 ω ) d t = m ω 2 R d R d t + m R 2 d ω d t =   0

Logo, teremos que a derivada da velocidade angular pelo tempo será:

d ω d t =   - 2 ω R d R d t

Sendo a derivada do raio pelo tempo:

d R d t = 3 . 10 - 2 m / y

Porém antes encontraremos o valor de ω, através de:

ω =   2 π T

Depois de TUDO isso (muita coisa né?), é só substituir os valores e resolver!

Passo 2

Antes de começar, lembremos que o período do movimento orbital da Lua é:

27,3   d = 2,36 . 10 6 s

Enquanto o raio é:

R = 3,84 . 10 8 m

Agora sim podemos começar de verdade!

ω =   2 π T

ω =   2 . 3,14 2,36 . 10 6

ω = 2,66   . 10 - 6   r a d / s

Substituindo na equação da derivada:

d ω d t =   - 2 ω R d R d t

d ω d t =   - 2 ( 2,66   . 10 - 6 ) 3,84 . 10 8 3 . 10 - 2

d ω d t = - 4,2   . 10 - 16 p o r   a n o

Resposta

Como d ω d t é negativo, a velocidade angular está decrescendo.

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