Enunciado

Continuação do Problema 65. Suponha que o referencial C da Fig. 37-31 está se movendo em relação a um observador D (que não aparece na figura). (a) Mostre que

M A D = M A B ⋅ M B C ⋅ M C D

(b) Agora aplique este resultado geral a um caso particular. Três partículas se movem paralelamente a um único eixo no qual está estacionado um observador. Os sinais positivo e negativo indicam o sentido do movimento ao longo desse eixo. A partícula A se move relação à Partícula B com um parâmetro de velocidade β A B = + 0,20 . A partícula B se move em relação à partícula C com um parâmetro de velocidade β B C = - 0,40 . A partícula C se move em relação ao observador D com um parâmetro de velocidade β C D = + 0,60 . Qual é a velocidade da partícula A em relação ao observador D? (Este método de resolver o problema é muito mais rápido que usar a Eq. 37-29.)

Passo 1

Para resolvermos esse problema vamos utilizar os resultados obtidos no exercício anterior para calcular todas as variáveis pedidas pelo enunciado.

Passo 2

  1. Temos que pela simetria do problema, o cálculo feito para ( A ,   B ,   C ) e ( C , D ,   A ) serão respectivamente
  2. M A C = M A B ⋅ M B C

    M A D = M A C ⋅ M C D

    Se substituirmos M A C na segunda relação, teremos que

    M A D = M A B ⋅ M B C ⋅ M C D

    Passo 3

  3. Utilizando a equação sugerida pelo enunciado, temos que

M = 1 - β 1 + β

Se manipularmos essa equação, vamos chegar que

β = 1 - M 1 + M

E que β A B = 1 5 ,   β B C = - 2 5   e   β C D = 3 5 . Assim, temos que

M A B = 1 - 1 5 1 + 1 5 = 2 3

M B C = 1 + 2 5 1 - 2 5 = 7 3

M C D = 1 - 3 5 1 + 3 5 = 1 4

Assim, utilizando a equação dada no item (a), temos que

M A D = M A B ⋅ M B C ⋅ M C D = 2 3 ⋅ 7 3 ⋅ 1 4 = 7 18

E

β A D = 1 - M A D 1 + M A D = 0,44

Que fará com que a velocidade seja, por consequência, v A D = + 0,44 ⋅ c

Resposta

(b) v A C = + 0,44 ⋅ c

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