Enunciado

Uma corda fina, esticada, presa nas duas extremidades e oscilando em seu terceiro harmônico possui a forma descrita pela equação y x , t = 5,6 c m s e n [ ( 0,034 r a d / c m ) x ] s e n [ ( 50 r a d / s ) t ] , onde a origem está na extremidade esquerda da corda, o eixo O x está na corda e o eixo O y é perpendicular à corda.

  1. Desenhe um diagrama que mostra a configuração da onda estacionária.
  2. Calcule a amplitude das duas ondas progressivas que compõem essa onda estacionária.
  3. Qual é o comprimento da corda?
  4. Calcule o comprimento de onda, a frequência, o período e a velocidade máxima de um ponto da corda.
  5. Calcule a velocidade transversal máxima de um ponto da corda.
  6. Qual seria a equação y ( x , t ) para essa corda se ela estivesse vibrando em seu oitavo harmônico?

Passo 1

Letra a)

O terceiro harmônico é aquele no qual temos três nós na corda, certo? Então temos 3 λ / 2   na corda e o desenho está aqui embaixo:

Passo 2

Letra b)

A equação da onda é:

y x , t = 5,6 c m s e n [ ( 0,034 r a d / c m ) x ] s e n [ ( 50 r a d / s ) t ]

E em comparação com a equação geral da onda temos que a amplitude da onda estacionária é A E S = 5,6 c m . Assim a amplitude da onda é a metade da amplitude da onda estacionária:

A = A E S 2 = 5,6 2 = 2,8 c m

Passo 3

Letra c)

Como vimos no passo 1 , temos 3 / 2 comprimentos de onda no terceiro harmônico. Como a distância entre as extremidades vale L :

L = 3 2 λ

E o comprimento de onda está relacionado com o número de onda k :

λ = 2 π k

E em comparação com a equação geral, temos que k = 0,034   r a d / c m , assim conseguimos calcular o valor de L :

L = 3 2 λ = 3 2 2 π k = 3 π k = 3 π 0,034 = 277 c m

Passo 4

Letra d)

Como sabemos que 3 2 λ = L e o tamanho da corda é 277 c m , ficou tranquilo encontrar o comprimento de onda:

λ = 2 L 3 = 2.277 3 = 184,7 c m

A frequência pode ser encontrada a partir de ω :

ω = 2 π f = 50 r a d / s

f = 50 2 π = 7,96 H z

O período é o inverso da frequência:

T = 1 f = 1 7,96 = 0,126 s

E a velocidade é o produto da frequência pelo comprimento de onda:

v = λ f = 184,7.7,96 = 1470 c m / s

Passo 5

Letra e)

A velocidade transversal está relacionada com a amplitude e com a frequência angular:

v m á x = A E S ω = 5,6.50 = 280 c m / s

Passo 6

Letra f)

Para determinar a equação para o oitavo harmônico precisamos determinar f 8 , comprimento de onda λ 8 , ω 8 e k 8 correspondentes.

f n = n f 1

Como temos a frequência do terceiro harmônico, podemos calcular a frequência fundamental:

f 1 = 7,96 3 = 2,65 H z

E assim calcular a frequência f 8 :

f 8 = 8 f 1 = 8.2,65 = 21,2 H z

E temos ω 8 :

ω = 2 π f 8 = 133 r a d / s

E o comprimento de onda:

λ = v f 8 = 1470 21,2 = 69,3 c m

E agora o número de onda:

k = 2 π λ = 2 π 69,3 = 0,0906 r a d / c m

Agora podemos construir a equação para o oitavo harmônico:

y x , t = 5,6 c m s e n [ ( 0,0906 r a d / c m ) x ] s e n [ ( 133 r a d / s ) t ]

Resposta

a )  

b )   2,8 c m

c ) 277 c m

d ) 184,7 c m ;   7,96 H z ; 0,126 s ; 1470 c m / s ;  

e ) 280 c m / s

f ) y x , t = 5,6 c m s e n [ ( 0,0906 r a d / c m ) x ] s e n [ ( 133 r a d / s ) t ]

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