Enunciado

Na figura, uma corda presa a um oscilador senoidal no ponto P e apoiada em um suport no ponto Q é tensionada por um bloco de massa m . A distância entre P e Q é L = 1,20 m e a freqüência do oscilador é f = 120   H z . A amplitude do deslocamento do ponto P é suficientemente pequena para que esse ponto seja considerado um nó. Também existe um nó no ponto Q . Uma onda estacionária aparece quando a massa do bloco é 286,1 g ou 447,0 g , mas não aparece para nenhuma massa entre esses dois valores. Qual é a massa específica linear da corda?

Passo 1

Como a corda está fixa em suas duas extremidades, a gente tem que f = n v 2 L = n 2 L × T μ = n 2 L × m g μ tal que n = 1,2 , 3,4 …

Isolando m , a gente tem:

m = 4 L 2 f 2 μ n 2 g

Passo 2

Quando uma onda estacionária aparece?

Sempre que n é um número inteiro! A questão nos fala que “... uma onda estacionária aparece quando a massa do bloco é 286,1 g ou 447,0 g , mas não aparece para nenhuma massa entre esses dois valores”. Isso significa que modos de vibração n + 1 e n   aparecem para essas duas massas.

Ou seja:

Para o bloco de m = 447   g : m = 4 L 2 f 2 μ n 2 g

0,447   k g = 4 L 2 f 2 μ n 2 g

Para o bloco de m = 286,1   g

0,2861   k g = 4 L 2 f 2 μ ( n + 1 ) 2 g

Dividindo as duas últimas equações, a gente obtém a equação abaixo:

0,447 0,2861 = n + 1 2 n 2

Passo 3

Agora, vamos precisar de certo “matematiquês” para encontrar n , lembrando que ele deve ser um número inteiro, já que a onda formada é estacionária.

Desenvolvendo a expressão acima, a gente tem:

0,447 0,2861 = n + 1 2 n 2 = n 2 + 2 n + 1 n 2 = 1 + 2 n + 1 n 2 ≅ 1,5623

2 n + 1 n 2 ≅ 0,5623

Podemos resolver a equação do segundo grau a partir da expressão acima, ou então ir tentando vários valores de n até chegar ao resultado. Testando n = 4 a gente encontra 2 n + 1 n 2 = 0,5625 , que é um valor bem próximo ao demonstrado acima. Então, a gente pode concluir que n = 4 .

Passo 4

Substituindo n = 4 em 0,447   k g = 4 L 2 f 2 μ n 2 g , vem:

μ = 0,447 × 4 ² × 9,8 m s 2 4 × 1,20 m 2 × 120 H z 2 ≅ 0,845 g / m

Resposta

0,845 g / m

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