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Na figura, uma corda, presa a um oscilador senoidal no ponto P e apoiada em um suporte no ponto Q , é tensionada por um bloco de massa m . A distância entre P e Q é L   =   1,20   m , a massa específica linear da corda é μ   =   1,6   g / m e a frequência do oscilador é f   =   120   H z . A amplitude do deslocamento do ponto P é suficientemente pequena para que esse ponto seja considerado um nó. Também existe um nó no ponto Q . (a) Qual deve ser o valor da massa m para que o oscilador produza na corda o quarto harmônico? (b) Qual é o modo produzido na corda pelo oscilador para m   =   1,00   k g ?

Passo 1

  1. Aqui, a gente precisa lembrar do que significa um n-ésimo harmônico. Sendo L o comprimento da corda e λ o comprimento de onda da onda estacionária, quando uma corda está fixa em ambas as extremidades acontece isso aqui:

L = n × λ 2

Passo 2

Beleza! Agora, vamos exercitar mais um pouco a memória e lembrar que

v = T / μ

Em que T e μ são a tensão na corda e μ a sua densidade linear. Além disso, a gente também sabe que v = λ × f . Juntando essas duas relações, e a do passo 1 ( L = n × λ 2 ), vem:

λ × f = 2 L n × f = T μ

Disso, isolando f , a gente obtém essa relação bonita aqui:

f = n × T μ 2 L = n × m g μ 2 L

Nesse caso, T = m g sendo m g   o peso do bloco.

Passo 3

Pronto! Agora bora isolar m na equação acima! Fazendo isso, a gente obtém isso:

m = 4 L 2 f 2 μ n 2 g

No quarto harmônico acontece que n = 4 . Então:

m = 4 1,20   m 2 120   H z 2 ( 0,00160   k g / m ) 4 2 ( 9,8 m s 2 ) ≅ 0,846   k g

Passo 4

(b)Se m = 1,00   k g , então o valor de n correspondente é (usando o fato de que m = 4 L 2 f 2 μ n 2 g ):

n = 4 L 2 f 2 μ m g = 4 1,20   m 2 120 H z 2 ( 0,00160   k g / m ) 1,00   k g ( 9,8 m s 2 ) ≅ 3,68

Como esse valor não é inteiro, essa massa de 1,00   k g não vai ser capaz de criar um modo estacionário de vibração da corda.

Resposta

  1. 0,846   k g
  2. Nenhum

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