Enunciado

Uma corda vibrante de comprimento l , presa em ambas as extremidades, está vibrando em seu n -ésimo modo normal, com deslocamento transversal dado pela equação:

y n x , t = b n sen ⁡ k n x cos ⁡ ω n t + δ n           n = 1 ,   2 ,   3

Calcule a energia total de oscilação da corda. Sugestão: Considere um instante em que a corda esteja passando pela posição de equilíbrio, de modo que sua energia total de oscilação esteja em forma puramente cinética. Calcule a densidade linear de energia cinética e integre sobre toda a corda.

Passo 1

Vamos seguir a sugestão do enunciado. Para calcular a energia cinética nós vamos ter que derivar o deslocamento transversal y em relação ao tempo:

y n = b n sen ⁡ k n x cos ⁡ ω n t + δ n           n = 1 ,   2 ,   3

y ˙ n = - b n ω n sen ⁡ k n x sen ⁡ ω n t + δ n

E vamos considerar o instante t = 0 (equilíbrio):

y ˙ n x , 0 = - b n ω n sen ⁡ k n x sen ⁡ δ n

Como nós mesmos definimos o instante t = 0 , podemos fazer isso de forma que a fase seja, por exemplo δ n = π / 2 , então:

y ˙ n x , 0 = - b n ω n sen ⁡ k n x

Passo 2

Agora, ainda seguindo a sugestão do enunciado, vamos procurar a tal densidade linear de energia cinética.

A energia de um “pedaço” de corda com massa d m é:

d E = 1 2   d m   y ˙ n 2

E podemos definir essa massa como:

d m = μ   d x

Onde μ é a densidade linear da corda:

d E = 1 2   μ   d x   y ˙ n 2

Substituindo com a expressão que encontramos:

d E = 1 2   μ   b n 2 ω n 2 sen 2 ⁡ k n x   d x

Agora é só integrar ao longo do comprimento da corda:

E = ∫ 0 l 1 2   μ   b n 2 ω n 2 sen 2 ⁡ k n x   d x

Passo 3

Vamos começar tirando as constantes:

E = 1 2   μ   b n 2 ω n 2 ∫ 0 l sen 2 ⁡ k n x   d x

E vamos usar a seguinte identidade trigonométrica:

sen 2 ⁡ x = 1 2 1 - cos ⁡ x

Então:

E = 1 2   μ   b n 2 ω n 2 ∫ 0 l 1 2 1 - cos ⁡ k n x   d x

E = 1 2   μ   b n 2 ω n 2 ∫ 0 l 1 2 - 1 2 cos ⁡ k n x   d x

E = 1 2   μ   b n 2 ω n 2 1 2 l - 1 2 k n sen ⁡ k n l

E = 1 4 μ   b n 2 ω n 2 l - sen ⁡ k n l k n

Vamos substituir ω n 2 = 4 π 2 f n 2 :

E = μ   b n 2 π 2 f n 2 l - sen ⁡ k n l k n

Agora dê uma olhada no que acontece com o seno quando substituímos k n = 2 π / λ n :

sen ⁡ k n l = sen ⁡ 2 π λ n l

Como estamos lidando com modos normais, a razão l / λ n é um número inteiro, então:

sen ⁡ k n l = 0

E a energia é:

E = μ   b n 2 π 2 f n 2 l

Resposta

A energia total de oscilação da corda é E = μ   b n 2 π 2 f n 2 l .

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