Enunciado

Uma corda de comprimento l está distendida, com uma extremidade presa a um suporte e a outra extremidade livre. (a) Ache as frequências ν n dos modos normais de vibração da corda. (b) Desenhe a forma da corda associada aos três modos de vibração mais baixos (em ordem de frequência crescente). A velocidade de ondas na corda é ν .

Passo 1

(a) Podemos escrever qualquer modo normal de vibração da corda como:

y x , t = A x cos ⁡ ω t + δ

Substituindo isso na equação de onda, podemos encontrar uma equação diferencial que a função A x sempre tem que obedecer:

d 2 A d x 2 + k 2 A = 0

Onde k = ω / v . Nesse caso a solução geral para A é:

A x = a cos ⁡ k x + b sen ⁡ k x

Para determinar essas constantes todas, vamos usar as duas condições de contorno que foram dadas no enunciado:

y 0 , t = 0 ∂ y ∂ x l , t = 0

A primeira diz que uma das extremidades está fixa o tempo todo, e a segunda diz que a tangente à corda na extremidade sempre fica na horizontal.

Obs.: Essa segunda condição pode parecer mais difícil de entender, mas é sempre válida para uma corda com extremidade livre, desde que não haja nenhuma força transversal.

Passo 2

Agora vamos aplicar essas condições:

y 0 , t = A 0 cos ⁡ ω t + δ = 0

A única solução razoável para essa equação é:

A 0 = 0

A 0 = a cos ⁡ 0 + b sen ⁡ 0 = a = 0

Então:

A x = b sen ⁡ k x

Agora vamos aplicar a segunda condição:

∂ y ∂ x l , t = ∂ ∂ x A l cos ⁡ ω t + δ = 0

Mais uma vez, a única solução que faz sentido é:

∂ ∂ x A l = 0

b k cos ⁡ k l = 0

Como b ≠ 0 , ficamos com a seguinte solução:

k n = 2 n + 1 l π 2           ,           n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

E podemos relacionar k n com a frequência ν n do n - é s i m o modo normal:

k n = 2 π ν n v

2 n + 1 l π 2 = 2 π ν n v

ν n = 2 n + 1 4 l v

Passo 3

(b) Agora vamos fazer os gráficos dos três primeiros modos normais dessa corda.

Já que a corda tem comprimento fixo, e sabemos que são modos normais, basta determinar o comprimento de onda para poder fazer o gráfico.

Uma das fórmulas para o comprimento de onda é:

λ n = 2 π k n

Aproveitando a mesma relação de antes para k n :

λ n = 4 l 2 n + 1

l = 2 n + 1 4 λ n

Passo 4

Queremos fazer os gráficos em ordem crescente de frequência. Isso significa que vamos começar com o maior comprimento de onda:

l = 2 n + 1 4 λ n

Para n = 0 temos:

λ 0 = 4   l  

Isso quer dizer que a corda inteira vai formar um quarto de comprimento de onda:

Nesses desenhos a distância entre as duas retas vermelhas é sempre igual a l .

Para n = 1 :

λ 1 = 4 3   l

E para n = 2 :

λ 2 = 4 5 l

Resposta

(a) ν n = 2 n + 1 4 l ν , com n = 0,1 , 2 , … .

(b) Ver figuras.

Exercícios de Livros Relacionados

No tubo A , a razão entre a frequência de um harmônico e a frequência do harmônico precedente é 1,2 . No tubo B , a razão entre a frequência de um harmônico e a frequência do harmô...
Duas ondas sonoras com uma amplitude de 12 n m e um comprimento de onda de 35 c m se propagam no mesmo sentido em um longo tubo, com uma diferença de fase de π / 3 r a d . Qual é (...
Na figura abaixo, F é um alto-falante alimentado por um oscilador de áudio com uma frequência que varia entre 1000 H z a 2000 H z e D é um tubo cilíndrico com 45,7 c m de comprimen...
Os menores tubos usados em órgãos têm 7,5   c m de comprimento. (a) Estime a frequência fundamental para um tudo aberto nas duas extremidades que tenha este comprimento. (b) Para e...
Que comprimento deve ter um tubo de órgão aberto num extremo e fechado no outro para produzir, como tom fundamental, a nota dó da escala média, ν = 262   H z , a 15 ° C , quando a ...
Estime a frequência de ressonância, dentro da faixa audível humana, para o canal auditivo humana. Considere o canal como uma coluna de ar aberta em uma extremidade, fechada na outr...
Um tubo de órgão, aberto nas duas extremidades, possui uma frequência fundamental de 400 H z . Se uma das extremidades do tubo é, agora, fechada, a frequência fundamental passa a s...
Uma corda de violão é puxada pelo seu ponto médio. Um microfone em seu computador detecta o som e um programa do computador determina que a maior parte do som subsequente consiste ...
Durante um experimento para estudar a rapidez do som no ar, usando um oscilador de áudio e um tubo aberto em uma ponta e fechado na outra, encontra-se uma particular frequência de ...
A crista do crânio de um dinossauro Parassaurolofo continha uma passagem nasal na forma de um tubo longo e arqueado aberto nas duas extremidades. O dinossauro pode ter usado a pass...
Calcule a frequência fundamental para um tubo de órgão, com um comprimento efetivo igual a 10 m, que é (a) aberto em ambas as extremidades e (b) tampado em uma extremidade.
O cano A é aberto em apenas uma das extremidades; o tubo B é quatro vezes mais comprido e é aberto nas duas extremidades. Dos 10 menores números harmônicos n B do tubo B , qual é a...