Enunciado

Uma pessoa está tocando uma pequena flauta de 10,75   c m de comprimento, aberta em uma das extremidades e fechada na outra, perto de uma corda esticada que possui frequência fundamental de 600,0   H z . Se a velocidade do som for 344   m / s , com que harmônicos da flauta a corda ressoará? Em cada caso, que harmônico da corda está em ressonância?

Passo 1

Como a questão pede para encontrarmos os harmônicos que estão em ressonância entre a flauta e a corda, precisamos das relações entre as frequências dos harmônicos e dos estados fundamentais de cada objeto, para a corda:

f n c = n c f 1 c

E para a flauta:

f n f = n f f 1 f

Igualamos as duas frequências para todos os harmônicos n f , n c que produzam ressonância entre a corda e a flauta:

f n c = f n f

Isso significa:

n c f 1 c = n f f 1 f

Agora basta encontrarmos a frequência fundamental da flauta para acharmos a relação entre os n de cada objeto.

Passo 2

A flauta pode ser considerada um tubo fechado, a equação das frequências dela é:

f n = n v 4 L

E do estado fundamental:

f 1 f = v 4 L

f 1 f = 344   m / s 4 ( 0,1075   m )

f 1 f = 800   H z

Substituindo na equação do passo 1, junto com a frequência do estado fundamental da corda:

n f = n c f 1 c f 1 f = n c 600   H z 800   H z = 3 4 n c

Passo 3

Bom, já temos a relação, como precisamos que n f seja um número inteiro, então n c deve ser:

n c = 4 N

Se intervermos a última equação do passo 2, ou seja:

n c = 4 3 n f

A gente percebe que para n c ser um número inteiro, ele deve ser:

n c = 3 N

Sendo N = 1,3 , 5 … . O motivo de ser um número ímpar, é porque a flauta só admite valores ímpares para n f e como a gente precisa que a corda esteja em ressonância, só os números ímpares de n c que poderão ressoar com a flauta.

Resposta

n c = 3 N

n f = 4 N

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