Enunciado

68. Um corpo negro esférico ideal com 24,0   c m de diâmetro é mantido a 225   ° C por um aquecedor elétrico interno e é imerso em um grande tanque de água aberto no topo. O tanque é mantido em temperatura de ebulição pela energia irradiada pela esfera. Despreze as transferências de calor por condução e convecção. Consulte a Tabela 17 . 4 quando necessário. a ) Em que taxa, em g / s , a água está evaporando do tanque? b ) Se um organismo termófilo que vive nessa água quente soubesse física e estivesse observando esse processo, que intensidade máxima ele mediria para ( i ) o comprimento de onda e ( i i ) a fregiência das ondas eletromagnéticas emitidas pela esfera?

Passo 1

Nessa situação temos o seguinte o corpo negro irradia calor na água, mas a água também irradia calor de volta para o corpo negro. E esse calor líquido que entra na água causa evaporação.

Podemos encontrar a potência líquida erradia pelo corpo negro através da seguinte equação:

d Q d t = σ A ( T c o r p o 4 - T á g u a 4 )

Lembrando que a temperatura é em K .

A taxa na qual a água evapora é dada pela seguinte equação:

d Q d t = L v d m d t

Onde L v encontramos o valor na tabela 17.4 e d m / d t é o que queremos saber.

Então basta igualar essas duas equações e isolar d m / d t .

Agora para encontrar o comprimento de onda medido pelo organismo vamos usar a lei de Wien que nos dá o comprimento de onda de pico irradiado,

λ m = 2,90 ⋅ 10 - 3   m ⋅ K T

Onde T é a temperatura do corpo negro.

Mas o organismo na água mede o comprimento de onda e a frequência da luz na água. Então temos que saber o valor desse comprimento de onda na água e isso encontramos da seguinte maneira:

λ = λ 0 n

A frequência não vai mudar de pelo fato da esfera está na água, assim temos que:

f = c λ 0

Passo 2

Vamos lá então, no item ( a ) temos o seguinte:

L v d m d t = σ A ( T c o r p o 4 - T á g u a 4 )

⇒ d m d t = σ A T c o r p o 4 - T á g u a 4 L v

Lembrando que σ = 5,67 ⋅ 10 - 8   W / m 2 ⋅ K 4 , a área A da esfera é 4 π R 2 , a temperatura de ebulição da água é 373   K , a temperatura do corpo é 498   K e que L v = 2256 ⋅ 10 3   J / k g , substituindo isso tudo, temos:

d m d t = ( 5,67 ⋅ 10 - 8 ) ( 4 π 0,12 2 ) 498 4 - 373 4 2256 ⋅ 10 3

= 432 , 45 8 2256 ⋅ 10 3

Então temos que:

d m d t = 1,92 ⋅ 10 - 4   k g / s

Mas o problema pede em g / s , assim:

d m d t = 0,192   g / s

Passo 3

Agora vamos encontrar o comprimento de onda pedido em ( b ) .

Primeiro vamos encontrar o comprimento irradiado pela esfera, temos:

λ m = 2,90 ⋅ 10 - 3   m ⋅ K T

Sabendo que T = 498   K , temos:

λ m = 2,9 ⋅ 10 - 3 498

⇒ λ m = 5,82 ⋅ 10 - 6   m

Então o comprimento observado pelo organismo é:

λ = λ m n

Onde n = 1,33 , assim temos que:

λ = 5,82 ⋅ 10 - 6 1,33

⇒ λ = 4,37 ⋅ 10 - 6   m

E a frequência é dada por:

f = c λ m

Assim temos que:

f = 3 ⋅ 10 8 5,82 ⋅ 10 - 6

⇒ f = 5,15 ⋅ 10 13   H z

Resposta

( a )

d m d t = 0,192   g / s

( b )

i   λ = 4,37 ⋅ 10 - 6   m

i i   f = 5,15 ⋅ 10 13   H z

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