Enunciado

No caso da radiação térmica de um corpo negro à temperatura de 2000   K , seja I C a intensidade por unidade de comprimento de onda de acordo com a fórmula clássica da radiância espectral, e seja I P a intensidade correspondente de acordo com a fórmula de Planck. Qual é o valor da razão I C / I P para um comprimento de onda (a) de 400   n m (na extremidade azul do espectro visível) e (b) de 200   μ m (no infravermelho distante)? (c) A fórmula clássica concorda melhor com a fórmula de Planck para comprimentos de onda mais longos ou mais curtos?

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

A expressão clássica para a radiância espectral é

I C = 2 π c k T λ 4

Já a expressão de Planck:

I P = 2 π c 2 h λ 5 ⋅ 1 e h c λ k T - 1

Com isso, a razão pedida é

I C I P = 2 π c k T λ 4 2 π c 2 h λ 5 ⋅ 1 e h c λ k T - 1

Portanto,

I C I P = λ k T h c ⋅ e h c λ k T - 1

Temos que T = 2000   K , de modo que

k T = 1,38 ⋅ 10 - 23 ⋅ 2000 = 2,76 ⋅ 10 - 20   J

Além disso,

h c = 6,62 ⋅ 10 - 34 ⋅ 3 ⋅ 10 8 = 1,98 ⋅ 10 - 25   J   m

Desta forma,

I C I P = 2,76 ⋅ 10 - 20 1,98 ⋅ 10 - 25 ⋅ λ m   e 1,98 ⋅ 10 - 25   m 2,76 ⋅ 10 - 20   λ - 1

Ou ainda,

I C I P = 1,39 ⋅ 10 5 λ m   e 0,72 ⋅ 10 - 5   m λ - 1

Passo 2

No item (a), temos λ = 400   n m = 4 ⋅ 10 - 7   m :

I C I P = 1,39 ⋅ 10 5 ⋅ 4 ⋅ 10 - 7   e 0,72 ⋅ 10 - 5 4 ⋅ 10 - 7 - 1

Fazendo a conta:

I C I P = 3,65 ⋅ 10 6

Repare que é um valor bem alto. Isso ocorre, pois, a fórmula clássica é falha para frequências altas (comprimentos de onda baixos), a partir da faixa do ultravioleta.

Já no item (b), temos λ = 200   μ m = 2 ⋅ 10 - 4   m :

I C I P = 1,39 ⋅ 10 5 ⋅ 2 ⋅ 10 - 4   e 0,72 ⋅ 10 - 5 2 ⋅ 10 - 4 - 1

Com isso,

I C I P = 1,019

Note que para comprimentos de onda maiores, temos praticamente I C ≈ I P . A fórmula clássica funciona muito bem nesse caso!

Resposta

I C I P = 3,65 ⋅ 10 6

I C I P = 1,019

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