Enunciado

Supondo que sua temperatura seja 37 ° e que você é um corpo negro (o que é uma aproximação razoável), determine (a) o comprimento de onda para o qual sua radiância espectral é máxima, (b) a potência da radiação emitida de uma área de 4,00   c m 2 do seu corpo, em uma faixa de 1,00   n m no entorno desse comprimento de onda, (c) a taxa de emissão de fótons correspondente à potência calculada no item (b). Para um comprimento de onda de 500   n m (na faixa da luz visível), calcule (d) a potência e (e) a taxa de emissão de fótons. (O cálculo vai mostrar que, como você já deve ter notado, você não brilha no escuro.)

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

O item (a) é bem simples, basta usar a lei de Wien:

λ m a x T = 2898   μ m   K

Como T = 37 + 273 = 310   K , temos que

λ m a x = 2898   μ m   K 310   K = 9,35   μ m

Para encontrar a potência da radiação emitida primeiro encontramos a intensidade:

I = S ⋅ Δ λ

A expressão para S é

S = 2 π c 2 h λ 5 ⋅ 1 e h c λ k T - 1

Com isso,

I = 2 π c 2 h λ 5 ⋅ 1 e h c λ k T - 1 ⋅ Δ λ

Usando Δ λ = 1   n m , λ = 9,35 ⋅ 10 - 6   m , T = 310   K :

I = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 9 ⋅ 10 16 ⋅ 6,62 ⋅ 10 - 34 9,35 ⋅ 10 - 6 5 ⋅ 1 e 6,62 ⋅ 10 - 34 ⋅ 3 ⋅ 10 8 9,35 ⋅ 10 - 6 ⋅ 1,38 ⋅ 10 - 23 ⋅ 310 - 1 ⋅ 1 ⋅ 10 - 9

Fazendo todas as continhas com uma calculadora:

I = 3,68 ⋅ 10 - 2   W / m 2

Para achar a potência, basta multiplicar pela área:

P = I   A = 3,68 ⋅ 10 - 2 ⋅ 4,00 ⋅ 10 - 4

Assim,

P = 14,72 ⋅ 10 - 6   W

Ou ainda,

P = 1,47 ⋅ 10 - 5   W

Passo 2

Para achar a taxa de emissão de fótons, usamos

P = E Δ t = n h f Δ t → n Δ t = P h f

A taxa de emissão de fótons é igual a potência dividida pela energia de um fóton h f . Nesse caso:

h f = h c λ = 6,62 ⋅ 10 - 34 ⋅ 3 ⋅ 10 8 9,35 ⋅ 10 - 6 = 2,06 ⋅ 10 - 20   J

Assim,

n Δ t = 1,47 ⋅ 10 - 5 2,06 ⋅ 10 - 20 = 7,14 ⋅ 10 14   s - 1

Passo 3

Nos demais itens, vamos repetir as contas acima para λ = 500   n m = 5 ⋅ 10 - 7   m :

I = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 9 ⋅ 10 16 ⋅ 6,62 ⋅ 10 - 34 5 ⋅ 10 - 7 5 ⋅ 1 e 6,62 ⋅ 10 - 34 ⋅ 3 ⋅ 10 8 5 ⋅ 10 - 7 ⋅ 1,38 ⋅ 10 - 23 ⋅ 310 - 1 ⋅ 1 ⋅ 10 - 9

Assim,

I = 5,69 ⋅ 10 - 34   W / m 2

Logo,

P = I A = 5,69 ⋅ 10 - 34 ⋅ 4,00 ⋅ 10 - 4

Portanto,

P = 2,33 ⋅ 10 - 37   W

Observe como essa potência é bem baixa! Isso ocorre pois agora não estamos mais no pico da radiância espectral. Para achar a taxa de emissão de fótons:

n Δ t = P h f = P λ h c = 2,33 ⋅ 10 - 37 ⋅ 5 ⋅ 10 - 7 6,62 ⋅ 10 - 34 ⋅ 3 ⋅ 10 8

Logo,

n Δ t = 5,87 ⋅ 10 - 19   s - 1

Resposta

λ m a x = 9,35   μ m

P = 1,47 ⋅ 10 - 5   W

n Δ t = 7,14 ⋅ 10 14   s - 1

P = 2,33 ⋅ 10 - 37   W

n Δ t = 5,87 ⋅ 10 - 19   s - 1

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