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O corpo rígido mostrado na Fig. 10-54 é formado por três partículas ligadas por barras de massa desprezível. O corpo gira em torno de um eixo perpendicular ao plano das três partículas que passa pelo ponto P . Se M   =   0,40   k g , a   =   30   c m e b   =   50   c m , qual é o trabalho necessário para levar o corpo do repouso até a velocidade angular de 5,0   r a d / s ?

Passo 1

Belezera galerinha, quando o enunciado diz que precisa levar o corpo a velocidade angular de 5,0   rad/s , ele está nos dizendo que quer iniciar um movimento circular com o corpo, no caso em torno de um ponto situado em P :

O trabalho que devemos exercer pra colocar um corpo de momento de inércia I em movimento circular com velocidade ω é dado pela fórmula:

W = 1 2 I ω 2

Então como já sabemos a velocidade angular ω = 5,0   rad/s , precisamos encontrar somente o momento de inércia I do sistema de partículas em relação ao ponto P . Então bora lá fazer isso!!

Passo 2

O momento de inércia é calculado pelo produto das massas pelo quadrado das distâncias, dado pela expressão:

I = ∑ i = 1 n m i r i 2

No nosso sistema, temos 3 particulas. As duas que possuem massa 2 M estão sob o mesmo segmento que corta o ponto P , e já nos foi dado então que as distância que elas possuem do ponto P são:

r 1 = a ,     r 2 = a

Agora a terceira partícula, de massa M , está a uma distância perpendicular r 3 dada de acordo com a figura:

Onde aplicando teorema de Pitágoras, descobrimos que:

r 3 = b 2 - a 2

Passo 3

Iradoso, então se a gente usar a fórmula do momento de inércia, verificamos que:

I = ∑ i = 1 n m i r i 2

I = 2 M a 2 + 2 M a 2 + M b 2 - a 2

Logo:

I = 3 a 2 + b 2 M

E se a gente aplicar na fórmula do trabalhos, obtemos que:

W = 1 2 I ω 2

W = 1 2 3 a 2 + b 2 M ω 2

Então para M = 0,40   kg , ω = 5,0   rad/s ,   a = 0,30   m   e b = 0,50   m . Obtemos que:

W = 1 2 0,208   kg. m 2 5,0   rad/s 2

W = 2,6   J

Resposta

W = 2,6   J

Tranquilo galera? Bora resolver mais questões então

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