Enunciado

Um corredor, viajando com a rapidez constante de 125 km/h, passa por um cartaz. Um carro-patrula parte do repouso, com aceleração constante de (80 km/h)/s até atingir sua rapidez máxima de 190 km/h, que é mantida até alcançar o corredor. (a) Quanto tempo leva o carro-patrulha para alcançar o corredor se ele arranca exatamente quando o corredor passa? (b) Qual a distância percorrida por cada carro? (c) Esboce x(t) para cada carro.

Passo 1

(a) Olá, querido! Vamos lá!

Então, temos um corredor e um policial. Como o policial arranca quando o corredor passa por ele, mas entender como a origem do nosso referencial esse ponto de onde o policial arranca.

O que ele quer saber é quando, depois desse arranque, o policial alcança o corredor.

Primeiro vamos converter nossas unidades. Tudo que está tem em k m / h vamos converter para m / s . Para fazer essa conversão, dividimos o valor que temos por 3,6:

a = 8 k m h ⋅ s 1 3,6 = 2,2   m / s 2

v c = 125 k m h 1 3,6 = 34,7   m / s

v p = 190 k m h 1 3,6 = 52,8   m / s

Nós sabemos que o policial alcançará o corredor quando suas posições finais forem iguais.

x p = x c

Então a ideia é escrever a equação da posição para cada um deles e igualar para achar t (o tempo que leva para eles estarem na mesma posição). Vamos!

Passo 2

O movimento do policial tem duas partes. O enunciado diz que primeiro ele arranca com aceleração constante até atingir

v p = 190   k m / h = 52,8   m / s

E depois disso sua velocidade fica constante, e só depois disso ele alcança o corredor. Então a gente precisa escrever uma equação que represente esses dois momentos.

Vamos descobrir primeiro o quanto ele alcança enquanto acelera e quanto tempo leva nesse trajeto. Podemos usar a expressão da definição de aceleração:

a = v f - v o t 1 - t 0

Ele saiu inicialmente do repouso, t 0 = 0 , v o = 0 , até v f = 52,8   m / s , com uma aceleração de a = 2,2   m / s 2 . Substituindo e isolando t 1 :

2,2 = 52,8 t 1

t 1 = 52,8 2,2

t 1 = 24   s

Com o tempo de aceleração, podemos encontrar a distância de aceleração usando essa expressão da aceleração constante:

∆ x p 1 = v 0 t 1 + a t 1 2 2

Como o policial parte do repouso, v 0 = 0 :

∆ x p 1 = 1 2 a t 1 2

∆ x p 1 = 1 2 ⋅ 2,2 ⋅ 24 2

∆ x p 1 = 630   m

Passo 3

Agora pensa comigo: ele andou 630   m e depois ficou um tempo com velocidade constante. Então a função posição dele vai ser 630   mais a distância que ele pode andar com velocidade constante depois do tempo t 1 .

A gente pode usar a equação da velocidade média aqui para escrever essa distância:

v = x 2 - x 1 t 2 - t 1

Já vimos que ele andou x 1 = 630   m no tempo t 1 = 24   s . E que depois ele vai ter a velocidade média (constante) de 52,8   m / s , então vamos substituir isso

52,8 = x 2 - 630 t 2 - 24

Isolando x 2 , e chamando de x p (posição do policial), vamos ficar com:

x p = 630 + 52,8 t 2 - 24

Já o movimento do corredor é dado pela equação horária da posição quando a gente tem velocidade constante de v c = 125 k m h = 34,7   m / s e começa de x 0 = 0 :

x c = x 0 + v c t

x c = 34,7 ⋅ t 2

A gente chamou o t de t 2 só para ficar com a mesma variável da equação do policial, ok? Como a posição final do corredor e do policial devem ser iguais, fazemos: x p = x c :

34,7 ⋅ t 2 = 630 + 52,8 ( t 2 - 24 )

Isolando t 2 :

t 2 = 35,19   s

Esse é o tempo que o policial leva para alcançar o corredor.

Passo 4

(b)Para descobrir a distância total, é só substituir o tempo que a gente achou em uma das equações (já que a posição final deles é a mesma, eles vão ter percorrido a mesma distância total).

Vamos usar a equação do policial:

x p = 630 + 52,8 ( t 2 - 24 )

x p = 630 + 52,8 ( 35,19 - 24 )

x p = 1220,8   m

E vai ser igual para os dois, já que ambos partiram do mesmo lugar e também foram até o mesmo lugar.

Passo 5

(c)O gráfico da posição como função do tempo para o corredor é apenas uma reta, já que ele tem velocidade constante, e é dado pela equação posição que a gente achou para ele:

x c = 34,7 ⋅ t

Já o gráfico do policial vai ter duas partes. Primeiro a parte entre t 0 = 0 e t 1 = 24 s , onde ele anda com aceleração constante. Essa vai ser dada pela equação horária da posição quando temos aceleração constante e saímos de x 0 = 0 e do repouso v 0 = 0 :

x p 1 = x 0 + v 0 t + a 2 t 2

x p 1 = 2,2 2 t 2 → x p 1 = 1,1   t 2

E a segunda parte é a parte onde temos velocidade constante, a partir de t 1 = 24   s . Usamos a equação do passo 3:

x p 2 = 630 + 52,8 t - 24

Plotando essas 3 curvas, vamos ter esse gráfico:

Resposta

a ) t 2 = 35,19   s

b ) ∆ x p = 1220,8   m

c)

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