Enunciado

41. Uma criança de 16,0   K g , em um balanço de 6,0   m de comprimento, move-se com uma rapidez de 3,4   m / s   quando o assento de balanco passa pelo seu ponto mais baixo. Qual é o ângulo que o balanço forma com a vertical quando antinge o seu ponto mais alto? Despreze a resistência do ar e suponha que a criança não está forçando o balanço.

Passo 1

Consideremos o sistema de análise como o formado pela Terra e pela criança.Desse modo, não há forças externas atuando no nosso sistema e o trabalho das forças externas, W e x t , é igual a zero. Escolhendo, convenientemente o sistema de referencial potencial gravitacional U = 0 no ponto mais baixo do balanço, como mostrado na figura abaixo, então a energia inicial da criança é inteiramente cinética. Por sua vez, quando a criança encontra-se no seu ponto mais alto, desta vez a energia é inteiramente potencial gravitacional. Com isso, podemos determinar h através da conservação de energia mecânica e, em seguida, usar trigonometria para determinar θ . Mãos a obra!

A seguinte imagem auxilia na compreensão do que pretende-se fazer:

Através do uso de relações trigonométricas simples, determina-se o ângulo θ como sendo:

θ = cos - 1 ⁡ L - h L = cos - 1 ⁡ 1 - h L

Tudo que temos que fazer agora é obter h , dado o valor de L = 6,0   m .

Passo 2

Aplicando a conservação de energia mecânica para o sistema, onde K é a notação de energia cinética, U é a notação de energia potencial e W e x t é o trabalho da força externa, que no caso, não existe nessa situação, chegamos a:

W e x t = ∆ U + ∆ K

Mas como W e x t = 0 , temos que:

∆ U + ∆ K = 0

Só que ∆ U e ∆ K , nada mais são do que a diferença entre as energias final   ( U f   e K f ) e inicial ( U i   e K i ). Com isso, obtemos que:

( U f -   U i + K f - K i ) = 0

Agora, vamos analisar com calma o nosso problema. Como descrito no P a s s o   1 , no instante inicial a criança encontra-se na altura de origem, em relação ao referencial, movendo-se com a velocidade máxima, para em seguida parar numa altura máxima h . Opa! Assim, obtemos que U i e K f são na verdade, igual a 0 . De modo que obtemos a seguinte relação:

- K i +   U f = 0

Passo 3

Agora é só substituir na relação expressa anteriormente, as fórmulas relativas a energia potencial final U f e a energia cinética inicial K i :

- K i +   U f = 0

- 1 2 m v i 2 + m g h = 0

1 2 m v i 2 = m g h

h = v i 2 2 g

Mas porque calcular h agora, se podemos substituí-lo de uma vez para encontrar o ângulo θ

que pede a questão? Vamos fazer isso:

θ = cos - 1 ⁡ 1 - h L  

θ = cos - 1 ⁡ 1 - v i 2 2 g L

θ = cos - 1 ⁡ 1 - ( 3,4   m / s ) 2 2 ( 9,81   m / s ² ) ( 6   m )

θ = 26 °

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Resposta

O valor do ângulo θ é aproximadamente igual a 26 ° .

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