Enunciado

Uma bola de 20,0 kg é disparada da boca de um canhão com velocidade de 1000 m/s a um ângulo de 37,0 graus com a horizontal. Uma segunda bola é disparada a um ângulo de 90,0 graus. Use o modelo de sistema isolado para encontrar (a) a altura máxima alcançada por cada bola e (b) a energia mecânica total do sistema bola-Terra na altura máxima de cada bola. Estabeleça y = 0 no canhão.

Passo 1

(a)Aqui, pra descobrir a altura máxima de cada bola, a gente precisa começar calculando a velocidade que elas vão ter na componente vertical.

A gente calcula isso seguindo esse esqueminha, já muito usado ao longo desse livro:

Então, gente, se a velocidade original v da bola lançada a θ = 37,0 ° é v = 1000   m / s , a velocidade dela na vertical vai valer:

v y = v ∙ sen ⁡ θ = 1000 ∙ sen ⁡ 37,0 °

v y = 1000 ∙ 0,602 = 602   m / s

Bom, essa é a velocidade que a bola tem no percurso vertical, e como ela tem essa velocidade no início do percurso, ela tem a energia cinética máxima nesse mesmo momento.

Quando ela chegar na altura máxima h 1 que ela pode alcançar, toda energia cinética vai virar energia potencial gravitacional!

Ou seja, pela conservação de energia, a gente vai ter:

K i n í c i o = U ( f i m )

Aplicando as formulinhas:

m ∙ v y 2 2 = m ∙ g ∙ h 1

Considerando g = 9,8   m / s 2 , aplicamos nossos dados e vamos ter:

20,0 ∙ 602 2 2 = 20,0 ∙ 9,8 ∙ h 1

∴ h 1 = 602 2 2 ∙ 9,8 ≅ 18   490   m

Agora a gente faz o mesmo pra outra bola, só que como ela já é lançada a 90,0 ° com a horizontal, então a velocidade dela na vertical é exatamente a velocidade original dela, v = 1000   m / s .

Com isso, a gente faz a mesma continha, determinando h 2 agora. A gente vai ter:

m ∙ v 2 2 = m ∙ g ∙ h 2

Simplificamos:

v 2 2 = g ∙ h 2

E aplicamos os nossos dados:

1000 2 2 = 9,8 ∙ h 2

∴ h 2 = 1000 2 2 ∙ 9,8 ≅ 51   020   m

Passo 2

(b)A energia mecânica, como a gente sabe, é a energia total do sistema.

No caso, a gente precisa calcular ela pelas energias potenciais de cada bola na altura máxima alcançada, como pedido no enunciado.

Pelas energias potenciais, a gente vai ter:

∴ U m á x b o l a   1 = 20,0 ∙ 9,8 ∙ 18   490 = 3,62 × 10 6   J

∴ U m á x b o l a   2 = 20,0 ∙ 9,8 ∙ 51   020 = 1 , 00 × 10 7   J

Resposta

(a) h 1 = 18   490   m h 2 = 51   020   m

(b) U m á x b o l a   1 = 20,0 ∙ 9,8 ∙ 18   490 = 3,62 × 10 6   J

U m á x b o l a   2 = 20,0 ∙ 9,8 ∙ 51   020 = 1,00 × 10 7   J

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