Enunciado

Um cubo está apoiado em uma parede sem atrito, formando um ângulo θ com o chão, como mostrado na Figura 12-55. Determine o menor coeficiente de atrito estático entre o cubo e o chão, necessário para evitar que o cubo escorregue.

Passo 1

Então gente, para resolver este problema nós temos que colocar as forças que vão atuar neste corpo enquanto ele está apoiado na parede.

Desenhando a situação completa, mas vamos explicando ela aos poucos ao longo da resolução:

No centro de gravidade, ou seja, no ponto central do cubo, temos a força gravitacional F → g sendo aplicada para baixo. Dada por:

F → g = m . g

Como nós temos duas superfícies em contato, existe a força normal F → N perpendicular à superfície, que neste caso é o chão, e F → w , força normal entre a parede e o cubo. A força de atrito f → s . M a x . , no caso da iminência do movimento, é dada por:

f → s .   M a x . = μ s .   . F → N

Bom, o problema nos disse que o cubo está apoiado na parede, sem escorregar. E nessa situação as condições de equilíbrio são válidas.

Então só precisamos fazer o somatório das forças e dos torques para achar o coeficiente de atrito mínimo para evitar que o corpo escorregue.

Passo 2

Vamos começar usando a primeira condição. Se ∑ F → = 0 , então ∑ F x → = 0   e   ∑ F y → = 0 .

Quando observamos as forças, a força peso e a força normal estão sobre o eixo y em direções opostas:

∑ F y → = 0

F → g - F → N = 0

F → g = F → N

F → N = M g

No eixo x estão atuando a força de atrito e a força normal entre a parede e o cubo:

∑ F x → = 0

f → s .   M a x . - F → w = 0

f → s .   M a x . = F → w

F → w = μ s .   . F → N

Substituindo F → N

F → w = μ s .   . M g

Isolando o coeficiente de atrito:

μ s .   = F → w M g

Passo 3

Para achar a equação da tração vamos usar a segunda condição, ∑ τ → = 0 . O torque é calculado como:

∑ τ → = ∑ ( r → . F → )

Onde r é a distância entre a força e o eixo de rotação. A escolha do eixo será muito importante, e será demonstrando em vermelho no desenho abaixo:

Por que escolhemos este eixo? Eu poderia escolher qualquer ponto para ser a origem, mas se a gente pensar bem, quando colocamos a origem neste ponto nós iremos zerar duas forçar no torque, f → s .   M a x .   e   F → N .

Beleza ! Quando fazemos isso, a força normal da parede estará na posição r = d do eixo de rotação. Como temos a formação de um triângulo retângulo:

s e n   θ = d a → d = a . s e n   θ  

Então, o torque relacionado à F → w é:

τ → = F w . a . s e n   θ

Agora temos que achar a distância d entre a força peso e o eixo. Vamos ampliar essa distância da figura original, mas antes é importante a gente lembrar que a diagonal do cubo divide o ângulo (90°) pela metade, ou seja, o ângulo entre a diagonal e as laterais são iguais a 45°:

Antes de chegarmos em d, precisamos da diagonal. Como o cubo é formado por dois triângulos retângulos de catetos a, a hipotenusa, ou diagonal, é dada por:

d i a g o n a l   ² = a ² + a ²

d i a g o n a l = a 2

d i a g o n a l 2 = a 2 2

Racionalizando:

d i a g o n a l 2 = a 2

Então:

c o s   ( 45 ° + θ ) = d a 2 → d = a 2 . c o s   ( 45 ° + θ )  

No torque:

τ → = M g . cos ⁡   ( 45 ° + θ ) . a 2

Já temos r agora só precisamos saber o sentido de rotação. Por convenção se uma determinada força for capaz de girar o corpo no sentido anti-horário seu sinal será positivo. A força da parede é capaz de girar a barra no sentido anti-horário (+), já a força peso gira no sentido horário (-).

Jogando toda informação na segunda condição:

F w . a . s e n   θ - M g . cos ⁡   45 ° + θ . a 2 = 0

F w . a . s e n   θ = M g . cos ⁡   45 ° + θ . a 2

Isolando F → w

F → w = M g . cos ⁡   45 ° + θ 2 . s e n   θ

Usando a identidade:

cos ⁡   45 ° + θ = cos ⁡ 45 ° . cos ⁡ θ - s e n   45 ° . s e n   θ

E lembrando que cos ⁡ 45 ° = sen ⁡ 45 ° = 2 2

cos ⁡   45 ° + θ = 2 2 ( cos ⁡ θ - s e n   θ )

Na fórmula:

F → w = M g . 2 2 ( cos ⁡ θ - s e n   θ ) 2 . s e n   θ = M g ( cos ⁡ θ - s e n   θ ) 2 . s e n   θ = M g 2 ( c o t g   θ - 1 )

Substituindo no coeficiente:

μ s .   = M g 2 ( c o t g   θ - 1 ) M g = ( c o t g   θ - 1 ) 2

Resposta

μ s .   = ( c o t g   θ - 1 ) 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um bloco retangular alto e uniforme fica em um plano inclinado, conforme mostrado na Figura 12-45. Um cabo é preso ao topo do bloco para evitar que ele caia no declive. Qual é o ângulo máximo θ para o
Para o cilindro do problema 25, determine uma expressão para a magnitude mínima da força horizontal F → que fará o cilindro rolar sobre o degrau, supondo que ele não deslize na borda.
Uma escada, de massa m e comprimento L , está apoiada contra uma parede sem atrito, formando um ângulo θ com a horizontal. O centro de massa da escada está a uma altura h acima do piso. Uma força F ,
Um homem de 900 N está sentado no topo de uma escada de massa desprezível, colocada sobre um piso sem atrito, como na figura 12-43. Existe um tirante, no meio da escada. O ângulo de abertura é θ = 30
Uma escada homogênea, de comprimento L e massa m , está apoiada contra uma parede vertical sem atrito, formando um ângulo de 60 ° com a horizontal. O coeficiente de atrito estático entre a escada e o