Enunciado

Um cubo de gelo de 10   g a - 10 ° C é colocado em um lago cuja temperatura é 15 ° C . Calcule a variação da entropia do sistema cubo-lago quando o cubo de gelo entra em equilíbrio térmico com o lago. O calor específico do gelo é 2220 J k g . K . (Sugestão: o cubo de gelo afeta a temperatura do lago?)

Passo 1

Vamos ver o que vai acontecer.

Primeiro, o gelo vai ser aquecido de - 10 ° C até 0 ° C . Nesse processo, a gente vai ter que usar a seguinte fórmula para calcular a variação de entropia:

Δ S = m c G ln ⁡ T f 1 T i 1

Depois, o gelo vai ser fundido até virar água líquida. Nesse caso, ele vai ter que receber a energia de acordo com o calor de fusão do gelo:

Q = L g m

Mas como a fusão é um processo isotérmico, a variação de entropia segue essa relação aqui:

Δ S = Q T

Depois, essa água líquida vai ser aquecida até a temperatura do lago, que é de 15 ° C . Aqui, estamos supondo que o gelo não afeta a temperatura do lago, o que é bem razoável.

Nesse aquecimento, vamos usar aquela mesma fórmula para calcular a variação de entropia:

Δ S = m c a g ln ⁡ T f 2 T i 2

Passo 2

Ok, vamos começar a calcular.

Somando todas as variações de entropia que escrevemos ali:

Δ S T = m c G ln ⁡ T f 1 T i 1 + Q T + m c a g ln ⁡ T f 2 T i 2

E agora trocando aquele calor do meio pela fórmula do calor de fusão que mencionamos antes:

Δ S T = m c G ln ⁡ T f 1 T i 1 + L f m T + m c a g ln ⁡ T f 2 T i 2

Agora é só substituir todos os valores, lembrando de converter as temperaturas para Kelvin e as massas para quilogramas!

Δ S T = ( 0,010 ) ( 2220 ) ln ⁡ 273 263 + 333.10 3 0,010 273 + ( 0,010 ) ( 4190 ) ln ⁡ 288 273

Δ S = 0,82845 + 12,197 + 2,2412

Δ S g e l o ≅ 15,267   J / K

Essa é a variação da entropia do gelo. Falta calcular a do lago.

Passo 3

Como durante o processo todo a temperatura do lago muda muito pouco (pense bem, é um gelinho de 10 gramas sendo jogado em um lago inteiro!), a gente pode considerar que o processo é isotérmico.

Nesse caso, a variação de entropia é:

Δ S = Q T

Onde a temperatura do lago é fixa em T = 15 ° C = 288   K

Δ S = Q 288

Então agora é só calcular o calor total que foi trocado pelo lago nesse processo todo.

Passo 4

Bom, as trocas de calor tiveram o seguinte resultado: ( 1 ) aquecer o gelo até 0 ° C ; ( 2 ) derreter o gelo; ( 3 ) aquecer a água líquida resultante até 15 ° C .

Beleza, nos processos ( 1 ) e ( 3 ) , o calor trocado segue essa fórmula aqui:

Q = m c Δ T

E no processo de fusão, a gente já sabe que a fórmula é essa:

Q = L F m

Então é só somar tudo isso!

Q T = m g c g Δ T g + L f m + m a c a Δ T a

Q T = 0,010 2220 273 - 263 + 333.10 3 0,010 + ( 0,010 ) ( 4190 ) ( 288 - 273 )

Q T = 22 2 + 3330 + 628,5

Q T = 4180,5   J

Mas tudo isso foi feito do ponto de vista do gelo, esse é o calor que o gelo recebeu! Do ponto de vista do lago, esse é o calor perdido:

Q T = - 4180,5   J

E então, a variação de entropia é:

Δ S l a g o = - 4180,5 288 = - 14,516   J / K

E finalmente, a variação de entropia total do sistema vai ser:

Δ S = Δ S l a g o + Δ S g e l o

Δ S = - 14,516 + 15,267 = 0,751   J / K

E então:

Δ S ≅ 0,75   J / K

Resposta

A variação de entropia do sistema é Δ S = 0,75   J / K .

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