Enunciado

Uma cunha de massa M repousa sobre o topo horizontal de uma mesa sem atrito. Um bloco de massa m é colocado sobre a cunha (Figura P5.112a). Não existe nenhum atrito entre o bloco e cunha. O sistema é liberado a partir do repouso. (a) Ache a aceleração da cunha e os componentes horizontais e verticais da aceleração do bloco. (b) Suas respostas ao item (a) se reduzem ao valor esperado quando M for muito grande? (c) Em relação a um observador estacionário, qual é a forma da trajetória do bloco?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a aceleração da cunha e os componentes horizontais e verticais da aceleração do bloco, analisar as respostas obtidas e determinar a forma da trajetória.

O primeiro passo nesse tipo de problema é desenhar as forças que agem em cada corpo:

Repare que a cunha aplica uma normal N ' sobre o bloco que, por sua vez, aplica uma força igual no sentido contrário sobre a cunha.

Nosso objetivo é achar as componentes da aceleração de cada corpo. Para a cunha, a força resultante na direção vertical deve ser nula:

N = M g + N ' cos ⁡ α

Já na horizontal, temos que

M a c u n h a = - N '   s e n   α

Para o bloco, temos na vertical:

m a b l o c o y = N ' cos ⁡ α - m g

Na horizontal:

m a b l o c o x = N '   s e n   α

Vamos lá!

Passo 2

Com o que foi feito no passo 1 , nós encontramos 3 equações para 4 incógnitas:

M a c u n h a = - N '   s e n   α m a b l o c o y = N ' cos ⁡ α - m g m a b l o c o x = N '   s e n   α

Precisamos de mais uma equação para resolver o problema. Para isso, vamos usar o fato que o bloco deve manter o contato com a cunha, de modo que que a aceleração resultante sobre ele deve ser paralela ao plano inclinado:

Detalhe que estou chamando o cateto de - a b l o c o y pois a orientação do sistema de coordenadas aponta para cima na direção vertical.

Portanto,

tan ⁡ α = - a b l o c o y a b l o c o x - a c u n h a

→ a b l o c o y = - a b l o c o x - a c u n h a tan ⁡ α

Substituindo isso no sistema, temos que

M a c u n h a = - N '   s e n   α - m ( a b l o c o x - a c u n h a ) tan ⁡ α = N ' cos ⁡ α - m g m a b l o c o x = N '   s e n   α

Isolando N ' na última equação, temos que

N ' = m a b l o c o x s e n   α

Substituindo na segunda equação:

- m ( a b l o c o x - a c u n h a ) tan ⁡ α = m a b l o c o x s e n   α cos ⁡ α - m g

Simplificando todas as massas, podemos escrever

- ( a b l o c o x - a c u n h a ) tan ⁡ α = a b l o c o x tan ⁡ α - g

Abrindo a tangente, temos que

- ( a b l o c o x - a c u n h a ) s e n   α cos ⁡ α = a b l o c o x s e n   α c o s ⁡ α - g

Fazendo o mmc, temos que

- a b l o c o x - a c u n h a s e n 2 α = a b l o c o x cos 2 ⁡ α - g   s e n   α cos ⁡ α

Passo 3

Observe que da primeira e terceira equação do sistema nós podemos tirar

M a c u n h a = - m a b l o c o x

→ a b l o c o x = - M m a c u n h a

Substituindo essa relação na equação do passo anterior:

- - M m a c u n h a - a c u n h a s e n 2 α = - M m a c u n h a cos 2 ⁡ α - g   s e n   α cos ⁡ α

Logo,

- M m cos 2 ⁡ α - M m s e n 2 α - s e n 2 α a c u n h a = g   s e n   α cos ⁡ α

Ou ainda,

- M + m   s e n 2 α a c u n h a = m g   s e n   α cos ⁡ α

Com isso, achamos a aceleração da cunha:

a c u n h a = - m g   s e n   α cos ⁡ α M + m   s e n 2 α

Repare que essa aceleração é negativa, o que faz bastante sentido já que a cunha se movimenta para trás conforme o bloco desce.

Passo 4

Agora que temos a aceleração da cunha podemos achar a aceleração do bloco:

a b l o c o x = - M m a c u n h a

Portanto,

a b l o c o x = M g   s e n   α cos ⁡ α M + m   s e n 2 α

Para achar a componente y da aceleração, usamos

a b l o c o y = - a b l o c o x - a c u n h a tan ⁡ α

Assim,

a b l o c o y = - M g   s e n   α cos ⁡ α M + m   s e n 2 α + m g   s e n   α cos ⁡ α M + m   s e n 2 α ⋅ s e n   α cos ⁡ α

Com isso, achamos

a b l o c o y = - M + m   g   s e n 2 α M + m   s e n 2 α

Passo 5

Agora vamos para o item (b)! Queremos tomar o limite com M ≫ m , de modo que

M + m ≈ M           e           M + m   s e n 2 α ≈ M

Com isso, temos que

a c u n h a ≈ - m g   s e n   α cos ⁡ α M → 0

a b l o c o x = M g   s e n   α cos ⁡ α M = g   s e n   α cos ⁡ α

a b l o c o y = - M   g   s e n 2 α M = - g   s e n 2 α

Observe que nesse caso nós retomamos os resultados do plano inclinado: a cunha em repouso e uma aceleração g   s e n   α na direção do plano inclinado!

Passo 6

A trajetória será retilínea, já que a aceleração é constante ao longo do movimento.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a c u n h a = - m g   s e n   α cos ⁡ α M + m   s e n 2 α

a b l o c o x = M g   s e n   α cos ⁡ α M + m   s e n 2 α

a b l o c o y = - M + m   g   s e n 2 α M + m   s e n 2 α

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