Enunciado

Três partículas de 0,50   k g formam um triângulo equilátero de 0,60   m de lado. As partículas estão ligadas por barras de massa desprezível. Qual é o momento de inércia desse corpo rígido em relação (a) a um eixo que passa por uma das partículas e é paralelo à barra que liga as outras duas, (b) um eixo que passa pelo ponto médio de um dos lados e é perpendicular ao plano do triângulo e (c) um eixo que é paralelo a um dos lados do trângulo e passa pelos pontos médios dos outros dois lados?

Passo 1

Vamos fazer um desenho da situação:

Em cada um dos casos, para calcular o momento de inércia, vamos ter que usar essa fórmula aqui:

I = ∑ m i d i 2

Onde d i é a distância da partícula i até o eixo escolhido.

Passo 2

(a) O primeiro eixo passa por uma das partículas, e é paralelo à barra que liga as outras duas:

A partícula que passa pelo eixo tem momento de inércia nulo, já que d = 0 , e para as outras duas a distância é igual:

I = 0,50 0,6 sen ⁡ 60 ° 2 + 0,50 0,6 sen ⁡ 60 ° 2

I = 0,27   k g ∙ m 2

Passo 3

(b) Agora o eixo é perpendicular ao plano da página. Vamas desenhar apenas o ponto onde ele cruza o plano.

Como o triângulo é equilátero, podemos desenhar o eixo em qualquer um dos seus lados:

A distância das duas partículas de baixo é mais fácil de calcular:

d 1 = d 2 = 0,6 2 = 0,3   m

E a distância até a partícula de cima pode ser calculada usando aquele ângulo de 60 ° no canto direito:

d 3 = 0,6 sen ⁡ 60 ° = 0,52   m

Então o momento de inércia é:

I = 2 0,50 0,3 2 + 0,500 0,52 2

I ≅ 0,22   k g ∙ m 2

Passo 4

(c) Por último, temos um eixo paralelo a um dos lados, e passando pelo ponto médio dos outros dois:

Agora a distância do eixo até cada uma das esferas é igual à metade da altura do triângulo equilátero:

d 1 = d 2 = d 3 = 1 2   0,6 sen ⁡ 60 °

d 1 = d 2 = d 3 = 0,26   m

Então o momento de inércia é:

I = 3 0,50 0,26 2

I = 0,10   k g ∙ m 2

Resposta

(a) I = 0,27   k g ∙ m 2 .

(b) I = 0,22   k g ∙ m 2 .

(c) I = 0,10   k g ∙ m 2 .

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