Enunciado

Daniel (massa de 65,0   k g ) e Rebeca (massa de 45,0   k g ) estão praticando patinação sobre uma pista de gelo. Enquanto está parado amarrando o cordão de seu patim, Daniel é atingido por Rebeca, que se deslocava a 13,0   m / s antes de colidir com ele. Depois da colisão, a velocidade de Rebeca possui módulo igual a 8,0   m / s e forma um ângulo de 53,1 ° com a direção de sua velocidade inicial. Ambos se movem sobre a superfície horizontal sem atrito da pista de gelo.

a) Qual são o módulo, a direção e o sentido da velocidade de Daniel depois da colisão?

b) Qual é a variação da energia cinética total dos dois patinadores em virtude da colisão?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular (a) velocidade de Daniel após a colisão dele com Rebeca e a (b) variação da energia cinética total dos dois.

Nós sabemos que a massa de Daniel é m D = 65   k g e que a massa de Rebeca é m R = 45   k g . Sabemos também que a velocidade inicial de Rebeca é v R , i = 13   m / s e que após a colisão ela tem uma velocidade de módulo igual a 8   m / s , formando um ângulo de 53,1 ° com a direção de sua velocidade inicial. Então, temos uma componente vertical de velocidade:

v R = 8 sen ⁡ ( 53,1 ° ) = 6,4   m / s

E uma componente horizontal:

v R = 8 co s ⁡ ( 53,1 ° ) = 4,8   m / s

Daniel estava parado, então a velocidade inicial dele é zero ( v D , i = 0 ). E a velocidade final v D ,   f é quem nós vamos achar considerando o princípio da conservação do momento linear, ou seja,

p i n i c i a l = p f i n a l

Onde p i n i c i a l é o momento linear inicial e p f i n a l é o momento linear final. Além disso, como o sistema parte do repouso, o momento inicial é zero ( p i n i c a l = 0 ). Então, sabendo que p f i n a l é a soma dos momentos de cada partícula (cada pessoa, nesse caso) e que o momento é dado pelo produto da massa pela velocidade, basta substituir os valores do enunciado. Depois calculamos a variação de energia cinética através da fórmula:

Δ E = E f - E i

Onde E i é a energia cinética inicial m D , i v D ,   i 2 2 + m R ,   i v R ,   i 2 2 e E f é a energia cinética final m D , f v D ,   f 2 2 + m R ,   f v R ,   f 2 2 .

Vamos lá!

Passo 2

a) O momento linear total deve ser conservado, então:

p i n i c i a l = p f i n a l

m D v D , i + m R v R , i = m D v D ,   f + m R v R , f

Considerando que v R , f é a velocidade final de Rebeca, na direção horizontal, temos:

65 ∙ 0 + 45 ∙ 13 = 65 v D ,   f + 45 ∙ 4,8

585 = 65 v D ,   f + 216,15

Isolando a velocidade final horizontal de Daniel, v D ,   f , vamos encontrar:

v D ,   f = 585 - 216,15 65

v D ,   f = 5,67 m / s

Então a velocidade de Daniel na direção horizontal é 5,67 m / s . Agora vamos ver na vertical. Antes da colisão o momento vertical é zero, então p i n i c i a l = 0 e temos:

p f i n a l = 0

0 = m D v D ,   f + m R v R , f

Então, considerando a componente vertical da velocidade de Rebeca e substituindo os dados do enunciado, vamos ter:

0 = 45 ∙ 6,4 + 65 v D ,   f

v D ,   f = 287,88 65

v D ,   f = 4,43 m / s

Agora podemos calcular o módulo da velocidade final de Daniel, através de suas componentes horizontal e vertical, fazendo:

v D = 5,67 2 + 4,43 2

v D = 51,77

v D = 7,19 m / s

E a direção, por meio do ângulo θ :

tan ⁡ θ = 4,43 5,67

θ = tan - 1 ⁡ 0,78 = 38 °

Passo 3

b) Agora vamos obter variação da energia cinética pela diferença entre a energia final e a energia inicial.

Vamos começar calculando a energia inicial:

E i = m D , i v D ,   i 2 2 + m R ,   i v R ,   i 2 2

E substituindo os valores, temos:

E i = 65.0 2 2 + 45 . 13 2 2

E i = 3,8 × 10 3 J

E agora a energia final:

E f = m D , f v D ,   f 2 2 + m R ,   f v R ,   f 2 2

E f = 65 . 7,19 2 2 + 45 . 8 2 2

E f = 3,12 × 10 3 J

Logo, a variação de energia será:

Δ E = E f - E i

Δ E = 3,12 × 10 3 - 3,8 × 10 3

Δ E = - 680 J

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a )   7,19 m / s

θ = 38 °

b ) - 680 J

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