Enunciado

Um dardo de 30 g é arremessado diretamente para cima a 9,0 m/s. No mesmo instante, uma bola de cortiça de 20 g é solta de uma posição 3,0 m acima do dardo. Qual é o módulo e qual é a orientação do movimento da bola de cortiça imediatamente após ela ser atingida pelo dardo? Considere que a colisão seja exatamente frontal e que o dardo se fixe à cortiça.

Passo 1

Veja o seguinte esquema:

Inicialmente, devemos determinar o instante em que a cortiça e o dardo irão colidir, de modo que poderemos saber a velocidade de cada um deles no instante da colisão. Como fazemos isso? Montando as equações de movimento, é claro!! Vamos lá... (observe a orientação do eixo y na figura)

Passo 2

  1. Para o dardo, temos
  2. y d = y 0 d + v 0 d t + 1 2 a t 2

    onde y 0 d = 0 é a posição inicial do dardo; v 0 d = 9,0   m / s é a velocidade inicial do dardo; a = - g é a aceleração do dardo (note que usamos - g pois a aceleração está para baixo). Logo:

    y d = 9 t - 1 2 g t 2

  3. Para a cortiça, temos

y c = y 0 c + v 0 c t + 1 2 a t 2

onde y 0 c = 3,0   m é a posição inicial da cortiça; v 0 c = 0 é a velocidade inicial da cortiça; a = - g é a aceleração da cortiça. Logo:

y c = 3 - 1 2 g t 2

Quando ocorre a colisão? Quando y c = y d . Logo,

9 t - 1 2 g t 2 = 3 - 1 2 g t 2 ⟹ 9 t = 3 ∴ t = 3 9 s ⟹ t = 1 3 s

Mas ainda precisamos da velocidade! Mas a gente também sabe montar a equação das velocidades:

  1. Para o dardo:
  2. v d = v 0 d + a t ⟹ v d = 9 + - g t ∴ v d = 9 - 9,8 t

    v d = 9 - 9,8 ⋅ 1 3 = 5,73   m / s

  3. Para a cortiça:

v c = v 0 c + a t ⟹ v c = 0 + - g t ∴ v c = - 9,8 t

v c = - 9,8 ⋅ 1 3 = - 3,27   m / s

Passo 3

Agora que já sabemos as velocidades da cortiça e do dardo imediatamente antes da colisão, vamos calcular qual é a quantidade de movimento do sistema nesse momento (sempre respeitando o sentido positivo do eixo y da figura). Temos:

p y = m d v d + m c v c = 30   g 5,73 m s + 20   g - 3,27 m s = 106,5   g ⋅ m s

Portanto, como os corpos movem juntos após a colisão, teremos logo após a colisão:

p y = 50   g v

Como ocorre a conservação da quantidade de movimento,

50 v = 106,5 ⟹ v = 2,13   m / s

Como v > 0 , segue que o corpo (cortiça + dardo) movimentam-se para cima.

Resposta

2,13 m/s para cima.

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