Enunciado

101 . No seu trabalho em um laboratório da polícia, é preciso projetar um aparato para medir as velocidades no cano das balas disparadas das armas. Sua solução é conectar um bloco de madeira de 2,00   k g que se apoia sobre uma superfície horizontal a uma mola horizontal leve. A outra ponta da mola é presa a uma parede. Inicialmente, a mola está em seu comprimento de equilíbrio. Uma bala é disparada horizontalmente no bloco e permanece embutida nele. Depois que a bala atinge o bloco, este comprime a mola a uma distância máxima d . Você mediu que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície horizontal é 0,38 . A tabela a seguir lista algumas armas de fogo que você testará:

Um grão é uma unidade de massa igual a 64,80   m g . ( a ) Das balas de A até E , qual produzirá a máxima compressão da mola? E a mínima? ( b ) Você deseja que a compressão máxima da mola seja 0,25   m . Qual deverá ser a constante de força da mola? ( c ) Para a bala que produz a compressão mínima da mola, qual é a compressão d se a mola tiver a constante de força calculada no item ( b ) ?

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa questão!

Para esse problema vamos usar a conservação de momento que para o nosso caso é dada por:

P i = P f

m b v b = ( m b + m B ) V

Vamos chamar m b + m B = M , assim:

m b v b = M V

Também vamos usar a equação da energia, temos:

K f - K i + U f - U i = W

Como a bala parte do repouso e na situação final a mola não está mais comprimida temos:

K f - U i = W

⇒ 1 2 M V 2 = μ c M g d + 1 2 k d 2

Vamos também usar a seguintes conversões:

1   g r ã o = 64,8   m g = 64,8 × 10 - 6   K g

1   p é / s = 0,3048 m / s

Vamos lá então!

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Queremos saber qual bala produz a maior e a menor compressão na mola, para isso vamos observar a equação da energia, temos:

1 2 M V 2 = μ c M g d + 1 2 k d 2

Como podemos ver a compressão d da mola depende de M V , então quanto maior o momento M V maior será a compressão. Vamos calcular esse momento para cada e podemos usar as unidades da tabela.

A : M V = 133360   g r ã o ⋅ p é / s

B : M V = 118125   g r ã o ⋅ p é / s

C : M V = 204240   g r ã o ⋅ p é / s

D : M V = 163800   g r ã o ⋅ p é / s

E : M V = 189700   g r ã o ⋅ p é / s

Não esqueça que m b v b = M V pela conservação de momento, por isso usamos os valores da tabela.

Vemos que o maior momento é o da bala C , logo a maior compressão e o menor momento é o da bala B , logo a menor compressão.

Passo 3

Vamos agora para o item ( b ) .

Ele quer saber a constante de força da mola para que tenhamos uma compressão máxima de 0,25   m , então vamos usar a bala C .

Para isso vamos usar a equação da energia, mas antes temos que saber o valor de V , para isso vamos usar a conservação de momento, temos:

m b v b = ( m b + m B ) V

Usando as conversões do passo 1 , temos:

( 0,015 55 ) ( 259,38 ) = ( 0,01555 + 2 ) V

⇒ V = 2,001   m / s

Passo 4

Agora que temos o valor de V , vamos atrás da constante da mola, temos:

1 2 M V 2 = μ c M g d + 1 2 k d 2

⇒ M V 2 = 2 μ c M g d + k d 2

⇒ k = M V 2 - 2 μ c M g d d 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

k = ( 2,01555 ) 2,001 2 - 2 ( 0,38 ) ( 2,01555 ) ( 9,8 ) ( 0,25 ) ( 0,25 ) 2

= 8,07 - 3,75 0,0625

Assim temos que:

k = 69,1   N / m

Passo 5

Agora o último item, o ( c ) .

Agora ele quer que a gente calcule d para bala que tem compressão mínima ( B ) , com uma mola de constante igual a que achamos no item anterior.

Temos que saber antes a velocidade V para essa bala, temos:

m b v b = ( m b + m B ) V

Usando as conversões do passo 1 , temos:

( 0,0 0809 ) ( 2 88,036 ) = ( 0,0 0809 + 2 ) V

⇒ V = 1,16   m / s

Passo 6

Agora que temos essa velocidade vamos para a equação da energia, temos:

1 2 M V 2 = μ c M g d + 1 2 k d 2

⇒ 1 2 k d 2 + μ c M g d - 1 2 M V 2 = 0

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

1 2 ( 69,1 ) d 2 + ( 0,38 ) ( 2 , 00809 ) ( 9,8 ) d - 1 2 ( 2,00809 ) ( 1,16 ) 2 = 0

⇒ 34,55 d 2 + 7,478 d - 1,356 = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau temos que:

d = 0,117   m

Com isso terminamos a nossa questão!

Resposta

( a )

Compressão máxima: C

Compressão mínima: B

( b )

k = 69,1   N / m

( c )

d = 0,117   m

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