Enunciado

Darlene é uma motociclista de circo. Como clímax de seu show, ela larga de uma rampa inclinada de θ , salta um fosso de largura L e pousa em uma rampa mais elevada (altura h ) do outro lado. (a) Para uma dada altura h, encontre a mínima rapidez de largada v m i n necessária para ela realizar o salto com sucesso. (b) Quanto vale v m í n para L = 8,0   m , θ = 30 ° e h = 4,0   m ? Mostre que, independente da rapidez de largada, a altura máxima da plataforma é h < L tan ⁡ θ . Interprete fisicamente este resultado. (Despreze a resistência do ar e trate a motoqueira e a moto como se fossem um única partícula)

Passo 1

E aí pessoal, beleza? Vamos lá resolver esse problema. A gente quer descobrir a mínima velocidade necessária de Darlene quando ela sai da primeira rampa.

Basicamente, a gente quer saber a velocidade inicial mínima para que esse salto aconteça. Podemos aproximar esse salto como um lançamento de projetil. Então aqui a gente vai usar as expressões que regem esse movimento e achar a velocidade inicial que torna o movimento possível.

Primeiro, adote um sistema de coordenadas adequado. Vamos adotar o padrão que é positivo no sentido crescente de x e y.

Darlene deve imprimir uma certa velocidade inicial para conseguir realizar a acrobacia. Então vamos descobrir essa velocidade.

Para o movimento de projetil, o movimento em cada direção é idependente. Vamos começar olhando a direção horizontal. Nela, temos velocidade constante, e vale a equação:

x = x 0 + v 0 x ⋅ t

Onde, x é a distância percorrida horizontalmente. Pela figura, essa distância precisa ser o vão entre as rampas, que vale x = L . A posição inicial x 0 vai ser zero porque nossa origem está na ponta da primeira rampa.

E a velocidade v 0 x é a componente horizontal da velocidade inicial mínima v m í n da moto, que pode ser escrita como:

v 0 x = v m í n ⋅ cos ⁡ θ

Logo, nossa equação fica:

x = x 0 + v 0 x ⋅ t

x = x 0 + v 0 x ⋅ t

L = 0 + v m í n ⋅ cos ⁡ θ ⋅ t

Passo 2

Agora vamos avaliar o movimento vertical. Para ele, vale a seguinte equação:

y = y 0 + v 0 y ⋅ t - 1 2 ⋅ g ⋅ t 2

A gravidade aparece com sinal de menos porque nosso eixo y é positivo para cima. y é a altura em x = L , ou seja, na ponto da segunda rampa. Colocando a origem do eixo na ponta da primeira rampa, temos que y = h . E assim a posição inicial é nula y 0 = 0 .

Já a velocidade inicial na direção y vai ser a componente vertical de v m í n , dada por

v 0 y = v m í n ⋅ sin ⁡ θ

Substituindo essas coisas na nossa equação:

h = 0 + v m í n ⋅ sin ⁡ θ ⋅ t - 1 2 ⋅ g ⋅ t 2

Passo 3

Percebe que a gente ficou com duas equações que usam os dados do problema:

L = v m í n ⋅ cos ⁡ θ ⋅ t

h = v m í n ⋅ sin ⁡ θ ⋅ t - 1 2 ⋅ g ⋅ t 2

Percebe que a gente quer encontrar v m í n , e a gente conhece (da figura do enunciado) todas as letras que aparecem nessas equações, menos o tempo t . Então vamos fazer ele sumir.

Como? A gente pode isolar ele na equação de cima e substituir na equação de baixo:

L = v m í n ⋅ cos ⁡ θ ⋅ t

t = L v m í n ⋅ cos ⁡ θ

Subsituindo na segunda equação que a gente achou:

h = v m í n ⋅ sin ⁡ θ ⋅ t - 1 2 ⋅ g ⋅ t 2

h = v 0 ⋅ sin ⁡ θ ⋅ L v m í n ⋅ cos ⁡ θ - 1 2 ⋅ g ⋅ L v m í n ⋅ cos ⁡ θ 2

h - tan ⁡ θ ⋅ L = - 1 2 ⋅ g ⋅ L v m í n ⋅ cos ⁡ θ 2

Isolando v m í n :

v m í n 2 = L 2 ⋅ g ( tan ⁡ θ ⋅ L - h ) ⋅ 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ

v m í n = L cos ⁡ θ ⋅ g ( tan ⁡ θ ⋅ L - h ) ⋅ 2    

Prontinho!

Obs: no gabarito aparece um x dentro da raiz, mas esse é um errinho deles, tá bem?

Passo 4

b) Agora queremos saber em valor a velocidade mínima que deve ser imprimida para as seguintes condições:

  • L = 8,0   m
  • θ = 30 °
  • h = 4,0   m
  • g = 9,81   m / s 2

É só a gente usar a nossa equação encontrada antes com esses dados:

v m í n = L cos ⁡ θ ⋅ g ( tan ⁡ θ ⋅ L - h ) ⋅ 2

Substituindo:

v m í n = 8 cos ⁡ 30 ° ⋅ 9,81 ( tan ⁡ 30 ° ⋅ 8 - 4 ) ⋅ 2

v m í n = 26   m / s

Passo 5

c) Agora devemos mostrar que independente da velocidade inicial. A altura máxima da plataforma deve ser h < L tan ⁡ θ .

Observe a equação que encontramos para a velocidade mínima inicial que deve ser imprimida, e analíse a parte que está dentro da raiz. Temos que, para que v m í n exista:

g ( tan ⁡ θ ⋅ L - h ) ⋅ 2 > 0

Pois o valor dentro da raíz não pode ser negativo (condição de existência de raízes pares). Como a gravidade não é negativa podemos dizer que:

( tan ⁡ θ ⋅ L - h ) > 0

Logo:

tan ⁡ θ ⋅ L > h

Passo 6

Para entender o que ele significa fisicamente, podemos isolar a tangente:

tan ⁡ θ > h L

Percebe pela figura, que a gente tem esse triângulo:

A tangente de α é

tan ⁡ α = h L

Percebe que isso aparece na nossa desigualdade. Vamos substituir:

tan ⁡ θ > h L

tan ⁡ θ > tan ⁡ α

Como θ e α são inclinações menores que 90 ° , isso implica em

θ > α

E como podemos interpretar isso? Quer dizer que a inclinação da rampa precisa ser maior do que a inclinação desse triângulo azul que a gente desenhou, para que a moto consiga subir o suficiente para atravessar o vão, já que tan ⁡ α   é uma relação entre h e o vão.

Resposta

a ) v m í n = L cos ⁡ θ ⋅ g ( tan ⁡ θ ⋅ L - h ) ⋅ 2

b ) v m í n = 26   m / s

c )   O valor dentro da raíz quadrada não pode ser negativo, portanto deve se respeitar que L tan ⁡ θ > h .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um caiaquista precisa remar para o norte ao longo de um porto que tem 100 m de largura. A maré está subindo, criando uma corrente de maré que flui para leste a 2,0 m/s. O caiaquista consegue remar com
40. O alcance horizontal de um projétil ao nível do solo é A = v 0 ² s e n2 θ / g ² . Com que valor ou valores de ângulo de lançamento o projétil aterrissará na metade de seu máximo alcance possível?
41. a . Um projétil é lançado com velocidade v 0 e ângulo θ . Derive uma expressão para a altura máxima h atingida pelo projétil. b . Uma bola de beisebol é arremessada com 33,6m / s de velocidade. Ca
39. Uma partícula parte do repouso em r 0 → = 9,0j ^m e move-se no plano x y com a velocidade representada na FIGURA P4.39. A partícula passa por dentro de uma argola de arame localizada em r 1 → = 20
10 . | Um estudante de física no planeta Exidor arremessa uma bola, e ela segue a trajetória parabólica mostrada na F I G U R AE X 4.10 . A posição da bola é mostrada em intervalos de 1 s até t=3 s .