Enunciado

39. Uma partícula parte do repouso em r 0 → = 9,0   j ^   m e move-se no plano x y com a velocidade representada na FIGURA P4.39. A partícula passa por dentro de uma argola de arame localizada em r 1 → = 20   i ^   m , e depois segue em frente.

  1. Em que instante a partícula passa através da argola?
  2. Qual é o valor de v 4 y , o componente y da velocidade da partícula em t =   4   s ?
  3. Determine e plote a trajetória da partícula.

Passo 1

Então galera para o item ( a ) temos que pensar no seguinte, a argola está localizada no eixo x , então para achar quanto tempo a partícula levou para chegar na argola temos que considerar o movimento da partícula em relação ao eixo x .

Para encontrar esse tempo precisamos saber qual a distância percorrida pela partícula nos primeiros 2   s onde temos uma velocidade variável em x .

Podemos encontrar essa distância lembrando que a posição é igual a área do gráfico da velocidade (nesse caso entre t = 0   s até t = 2   s ).

Depois é só diminuir essa posição que encontramos da posição da argola e depois encontrar quanto tempo leva para partícula percorrer essa distância sabendo que depois de 2   s a velocidade é constante e igual a 10   m / s .

Para o item ( b ) precisamos encontrar v 4 y para isso vamos usar a seguinte equação:

v 4 y = v 0 y + a y ( t 4 - t 0 )

A velocidade inicial e os tempos nós já conhecemos, falta saber quem é a y , para isso podemos usar a seguinte equação:

y = y 0 + v 0 y t - t 0 + 1 2 a y t - t 0 2

Onde podemos considerar a posição final igual a zero que é o caso do item ( a ) (já que a argola se encontrava no eixo x , logo y = 0 ) então o valor de t que vamos usar é o que vamos encontrar em ( a ) .

Depois para plotar a trajetória pedida em ( c ) temos que usar as informações do enunciado de que a partícula está em movimento tanto em x quanto em y .

Passo 2

Vamos então começar a resolver o que é pedido em ( a ) . Primeiro vamos encontrar a distância percorrida pela partícula até t = 2   s .

Como falei no passo 1 essa distância é iguala a área do gráfico de t = 0   s até t = 2   s , que é um triângulo, assim temos que:

x 1 = b ⋅ h 2

Substituindo com as informações do gráfico temos:

x 1 = ( 2   s ) ⋅ ( 10   m / s ) 2

⇒ x 1 = 10   m

Então ainda falta a partícula percorrer 10   m até a argola. Vamos encontrar quanto tempo ela leva para percorrer essa distância com uma velocidade de 10   m / s , temos o seguinte:

v = Δ S Δ t

Δ t = Δ s v

Substituindo com o que sabemos temos:

Δ t = 10   m 10   s

⇒ Δ t = 1   s

Então a partícula levou no total 3   s para chegar na argola.

Passo 3

Agora vamos partir para o item ( b ) , mas primeiro precisamos encontrar a y , então como discutimos no passo 1 , temos:

y = y 0 + v 0 y t - t 0 + 1 2 a y t - t 0 2

Onde vamos usar t = 3   s pois assim temos y = 0 , temos então:

0 = 9   m + 0 3 - 0 + 1 2 a y 3   s - 0 2

⇒ 0 = 9   m + a y ( 4,5   s 2 )

⇒ 4,5   s 2 a y = - 9   m

Então temos que:

⇒ a y = - 2   m / s 2

Passo 4

Agora que temos a aceleração podemos encontrar a velocidade v 4 y , temos o seguinte:

v 4 y = v 0 y + a y ( t 4 - t 0 )

Substituindo com o que sabemos temos:

v 4 y = 0   m / s + ( - 2   m / s 2 ) ( 4   s - 0 )

⇒ v 4 y = - 8   m / s

Passo 5

Olhando o que o enunciado nos fornece de informação e o que encontramos temos a seguinte trajetória:

Resposta

( a )

t = 3   s

( b )

v 4 y = - 8   m / s

( c )

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