Enunciado

Deduza a equação (2.42) para uma lente delgada construindo a imagem por duas refrações sucessivas, nas superfícies esféricas dianteira e traseira da lente.

Passo 1

Legal, nesse problema temos que deduzir a equação das lentes delgadas construindo a imagem por duas refrações sucessivas por superfícies refratoras esféricas (seção 2.7). Sabemos que quando a luz atravessa ums superfície refratora esférica de um meio com índide de refração n 1 para um meio com índice de refração n 2 , temos que

n 1 p + n 2 q = n 2 - n 1 R

Nessa expressão, p é a distância do objeto até a superfície, q a distância da imagem até a superfície (dentro dela) e R é o raio de curvatura do superfície esférica.

Nesse problema vamos aplicar essa fórmula duas vezes. Primeiro vamos analisar a refração pela superfície esférica dianteira da lente:

Note que eu representei a superfície traseira em pontilhado por enquanto. Também usei p ' no lugar de q . Usando a expressão, temos que

n 1 p + n 2 p ' = n 2 - n 1 R 1

Aqui eu também usei que o raio da superfície dianteira é R 1 . Com isso, temos que

n 2 p ' = n 2 - n 1 R 1 - n 1 p

Passo 2

Agora vamos considerar a refração da imagem formada no passo 1 pela superfície traseira:

É importante ressaltar que os desenhos tem apenas caráter ilustrativo, não representando adequadamente a formação das imagens.

Considerando essa segunda refração, em que agora o objeto é virtual, temos que

n 2 - p ' + n 1 q = n 1 - n 2 R 2

Como agora passamos do meio com índice n 2 para o meio com índice n 1 , fica n 1 - n 2 do lado direito da equação. Usamos - p ' na expressão pois o objeto dessa refração é virtual. Com isso, temos que

n 2 p ' = n 1 q - n 1 - n 2 R 2 = n 1 q + n 2 - n 1 R 2

Passo 3

Igualando as equações dos passos 1 e 2:

n 2 - n 1 R 1 - n 1 p = n 1 q + n 2 - n 1 R 2

Portanto,

n 1 p + n 1 q = n 2 - n 1 R 1 - n 2 - n 1 R 2

Ou ainda,

n 1 p + n 1 q = n 2 - n 1 1 R 1 - 1 R 2

Por fim,

1 p + 1 q = n 2 - n 1 n 1 1 R 1 - 1 R 2 = 1 f

Essa é exatamente a equação 2.42.

Resposta

Demonstração.

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Mais espelhos. Um objeto O está sob o eixo central de um espelho esférico ou plano. Para cada problema a tabela 34-4 mostra (a) o tipo de espelho, (b) a distância focal f, (c) o raio de curvatura r, (
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