Enunciado

Uma lente delgada convergente de distância focal f é colocada entre um objeto e um anteparo fixos, a uma distância d > 4 f um do outro. Desloca-se a lente até que ela forma uma imagem nítida do objeto no anteparo.

a) Mostre que existem duas posições diferentes da lente para as quais isso acontece.

b) Sejam y ' e y ' ' os tamanhos da imagem correspondentes a essas duas posições. Demonstre que o tamanho do objeto é a média geométrica de y ' e y ' ' .

Passo 1

O primeiro passo sempre é fazer um esquema do problema:

A distância do objeto até a lente é x e a distância da lente até o anteparo é d - x . A equação das lentes diz que

1 p + 1 q = 1 f

Nesse caso, p = x e q = d - x . Assim,

1 x + 1 d - x = 1 f ⇒ d - x + x x ( d - x ) = 1 f

Portanto,

f = x d - x d ⇒ - x 2 + d x = f d

Ou ainda,

x 2 - d x + f d = 0

Passo 2

Resolvendo essa equação do segundo grau em x , achamos que

x = d ± d 2 - 4 f d 2

Como d > 4 f , temos que

d 2 - 4 f d > 0

Vemos que existem duas posições x em que podemos colocar a lente:

x - = d - d 2 - 4 f d 2                 e               x + = d + d 2 - 4 f d 2

Passo 3

Para o item (b), temos que lembrar que o aumento lateral é

m = y ' y = f f - p

No caso, para p = x - , temos que o tamanho da imagem é y ' . Já para p = x + , temos que o tamanho da imagem é y ' ' . Daí,

y ' y = f f - x -               e           y ' ' y = f f - x +

Com isso,

y ' y ' ' = y 2 f 2 f - x - f - x +

Agora veja que

f - x - f - x + = 1 4 2 f - d + d 2 - 4 f d 2 f - d - d 2 - 4 f d

Portanto,

f - x - f - x + = 1 4 4 f 2 - 4 f d + d 2 - d 2 + 4 f d = f 2

Logo,

y ' y ' ' = y 2 f 2 f 2 ⇒ y 2 = y ' y ' '

Com isso,

y = y ' y ' '

Vemos que y é a média geométrica de y ' e y ' ' .

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um objeto O está sobre o eixo central de uma lente delgada. Para cada problema, a Tabela 34-7 mostra a distância do objeto p , o índice de refração n da lente o raio r 1 da superfície da lente mais pr
Um objeto O está sobre o eixo central de uma lente delgada. Para cada problema, a Tabela 34-7 mostra a distância do objeto p , o índice de refração n da lente o raio r 1 da superfície da lente mais pr
Um objeto O está sobre o eixo central de uma lente delgada. Para cada problema, a Tabela 34-7 mostra a distância do objeto p , o índice de refração n da lente o raio r 1 da superfície da lente mais pr
Um objeto O está sobre o eixo central de uma lente delgada. Para cada problema, a Tabela 34-7 mostra a distância do objeto p , o índice de refração n da lente o raio r 1 da superfície da lente mais pr
Um objeto O está sobre o eixo central de uma lente delgada. Para cada problema, a Tabela 34-7 mostra a distância do objeto p , o índice de refração n da lente o raio r 1 da superfície da lente mais pr