Enunciado

Demonstre o resultado de Galileu enunciado à pg. 53, mostrando que, para uma dada velocidade v 0   v0, um projétil pode atingir o mesmo alcance A para dois ângulos de elevação diferentes,   θ = 45 ° + δ e θ = 45 ° - δ , contanto que A não ultrapasse o alcance máximo A m = v 0 2 g . Calcule em função   θ em função de v 0   e A .

Passo 1

Quando chega questão de demonstrar : eita... pulei sem querer, kkkk. HOJE NÃO! Tou aqui pra te ajudar. Vem comigo!

Então, nesse caso aqui a gente pode analisar a fórmula do alcance de modo bastante simples.

Como sabemos que

v 2 s e n 2 θ g = A  

Se gente pensar em 2 ângulos que vão nos dar o mesmo seno, teremos o mesmo alcance A, sim ou não? Bom, que valores eu coloco ali no espacinho do seno que vão me dar de volta uma resposta igual? Bora ver o ciclo trigonométrico

Na reta vertical temos os senos e na horizontal os cosenos, se a gente observar esses ângulos azul claro e escuro batem justamente no mesmo ponto da reta vertical, ou seja, tem o mesmo seno!!! Ótimo, e que ângulos são esses? Se a gente reparar são simétricos ao 90 ° , então vamos escrever eles assim

s e n 90 + x = s e n ( 90 - x )

Como na nossa fórmula do começo estamos considerando 2 θ fica assim

v 2 g s e n 45 + x 2 = v 2 g s e n 45 - x 2

Ou seja, alcances iguais pra ângulos diferentes!! Matamos.

Para calcular nosso ângulo usaremos a fórmula inicial, substituindo θ por 45 ° + δ , fica assim

v 0 2 g s e n   90 + 2 δ = A

s e n 90 ° + 2 δ = g A v 0 2

Usando a fórmula de soma de ângulos obtemos

s e n 90 ° c o s 2 δ + c o s 90 ° s e n 2 δ = g A v 0 2

c o s 2 δ = g A v 0 2

  δ = 1 2 a r c o s   g A v 0 2

Resposta

δ = 1 2 a r c o s   g A v 0 2

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