Enunciado

Demonstre o seguinte teorema dos eixos perpendiculares: O momento de inércia de uma placa (lâmina delgada) plana de forma arbitraria em relação a um eixo O z perpendicular a seu plano, com a origem O no plano da placa, é a soma dos momentos de inércia em relação aos eixos O x e O y , que formam com o O z um sistema de eixos ortogonais.

Passo 1

Como estamos tratando de uma lamina, podemos usar a densidade superficial, olhá só:

d m = σ d A

Passo 2

Com relação ao eixo x , temos:

I x = ∫ x 2 d m

Como relação ao eixo y é bem parecido!

I y = ∫ y 2 d m

Logo,

I = I x + I y = ∫ x 2 d m + ∫ y 2 d m

Isto é,

I = ∫ ( x 2 + y 2 )   d m

Passo 3

Agora vamos ver para o eixo z .

I z = ∫ z 2 d m

Mas pelo terorema de Pitágoras, temos:

z 2 = x 2 + y 2

Logo

I z = ∫ ( x 2 + y 2 )   d m

Portanto,

I z = I x + I y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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