Enunciado

Mostre que o trabalho necessário para remover um objeto da atração gravitacional da Terra é o mesmo que seria necessário para elevá-lo ao topo de uma montanha de altura igual ao raio da Terra, caso a força gravitacional permanecesse constante e igual ao seu valor na superfície da Terra, durante a escalada da montanha.

Passo 1

Falaaaa galera, temos que ter cuidado aqui porque sempre estamos calculando a força gravitacional como constante e se quisermos analisar o caso em que um corpo seria removido da atração gravitacional, o trabalho feito teria que ser inifito já que sempre há uma força de mesmo valor puxando de volta para Terra.

Para tirar a o corpo da atração da Terra vamos considerar a real fórmula da força, certo?

F g = - G m M t r 2

Pra gente calcular o trabalho vamos calcular antes o potencial.

F g = - d U d r

U = ∫ G m M t r 2 d r

Aqui chegamos num ponto crítico, pois precisamos estabelecer um potencial para cada ponto do espaço e essa integral indefinida nos dá um caso geral. A convenção pra facilitar nossa vida é o potencial ser 0 no inifitno, onde o corpo estaria livre da atração da Terra. Se quisermos calcular o potencial a um ponto r qualquer da terra fica assim

U =   ∫ ∞ r G m M t r ' 2 d r '

=   G m M t ∫ ∞ r d r ' r ' 2

=   G m M t - 1 r ' ∞ r

=   G m M t - 1 r - - 1 ∞

= - G m M t r

Legal, esse valor representa o trabalho para trazer um corpo de massa m do infinito até uma distância r   do centro da Terra, ou seja, é o mesmo trabalho que teremos pra levar o corpo de uma distância r até o infinito (apenas com sinal trocado), ou seja, tirar o corpo da atração da Terra. Se o nosso ponto r   estiver na superfície da Terra, temos então

W = G m M t R t

Passo 2

Agora vem a parte de boas, considerar que a gravidade é constante, fica assim

W = m g h  

Onde h = R t

W = m g R t

Pra provar que os 2 trabalhos são iguais só precisamos fazer uma pequena modificação : g   é nada mais nada menos que uma abreviação para G M t R t 2 , que usualmente considerarmos constante e igual a 9,8   m / s 2 na superfície da Terra. Então, nosso trabalho fica

W = m G M t R t R t 2

= G m M t R t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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