Enunciado

60. Um deslizador de 250   g sobre um trilho de ar é preso a uma mola de constante elástica   4,0   N / m . A constante de amortecimento devido à resistência do ar vale 0,015   k g / s . O carrinho é deslocado 20   c m de sua posição de equilíbrio e é solto. Quantas oscilações ele efetuará até que a amplitude do movimento decaia para e - 1 de seu valor inicial?

Passo 1

Opa! E aí brother! Aqui vamos nós de novo!

Se liga só! Falou em constante de amortecimento é sinônimo de oscilação amortecida!

Sendo assim, a nossa equação de posição para o deslizador é dada por...

x t = A e - ( t / 2 τ ) cos ⁡ ( ω t + ϕ 0 )

Onde sabemos que...

τ = m b

E também que...

ω = k m - b 2 4 m 2

Essa serão as nossas três fórmulas essenciais na resolução desse problema!

Passo 2

Pegando a última fórmula...

ω = k m - b 2 4 m 2

E sabendo pelo enunciado, que:

A = 0,20   m

ϕ 0 = 0   r a d

b = 0,015   k g / s

Substituindo na fórmula, podemos obter o valor da frequência angular...

ω = k m - b 2 4 m 2

ω = 4,0   N / m 0,250   k g - ( 0,015   k g / s ) 2 4 ⋅ ( 0,250   k g ) 2

ω ≅ 4,0   r a d / s

Obtido a frequência angular, o período correspondente será de...

T = 2 π ω = 2 π 4,0   r a d / s ≅ 1,57   s

Passo 3

Pra finalizar! Bem, sabemos que a amplitude do movimento decai para e - 1 de seu valor inicial.

Isso quando t = 0   s !

Sendo assim...

x t = A e - ( t / 2 τ ) cos ⁡ ( ω t + ϕ 0 ) = A e - 1

A e - ( t / 2 τ ) cos ⁡ ( ω ⋅ 0 + 0 ) = A e - 1

e - ( t / 2 τ ) = e - 1

- t 2 τ = - 1

t 2 τ = 1

t = 2 τ

Uma vez que...

τ = m b

Então;

t = 2 ⋅ m b

t = 2 ⋅ 0,250   k g 0,015   k g / s

t ≅ 33,3   s

E pra obter o número de oscilações dadas durante esses decaimento, basta dividir esse tempo t pelo período T do movimento...

N ú m e r o   d e   o s c i l a ç õ e s = 33,3   s 1,57   s

N ú m e r o   d e   o s c i l a ç õ e s ≅ 21

Pronto! Finalizamos aqui!

Até a próxima!

Resposta

N ú m e r o   d e   o s c i l a ç õ e s ≅ 21

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