Enunciado

56. A aceleração de queda livre na Terra varia de 9,78   m / s 2 , no Equador, a 9,83   m / s 2 , nos pólos, pelo fato de a Terra estar em rotação e também por ela não ser uma esfera perfeita. Um pêndulo cujo comprimento é de exatamente 1.000   m pode ser utilizado para medir g . Este dispositivo é chamado de gravímetro.

a. Quanto tempo duram 100   o s c i l a ç õ e s no Equador?

b. Quanto tempo duram 100 oscilações no Pólo Norte?

c. A diferença entre suas respostas para os itens anteriores é mensurável? Que tipo de instrumento você poderia usar para medir a diferença?

d. Suponha que você leve um gravímetro para o pico de uma montanha alta próxima ao Equador. Lá, você verifica que 100 oscilações duram 201,0   s . Qual é o valor de g no topo da montanha?

Passo 1

a) Bom! Essa primeira letra é moleza! Já estamos cansados de saber que o período de oscilação de um pêndulo é dado por...

T = 2 π L g

Sendo assim, considerando que o nosso pêndulo tem comprimento de 1,00   m e a gravidade no Equador vale 9,83   m / s ² ... O período de uma oscilação vai valer:

T = 2 π L g e q u a d o r

T = 2 π 1,000   m 9,78   m / s ²

T ≅ 2,009   s

Como queremos o período de 100   oscilações, basta multiplicar esse T por 100 ...

T e q u a d o r = 100 T

T e q u a d o r = 100 ⋅ ( 2,009   s )

T e q u a d o r = 200,9   s

Passo 2

b) Essa letra é o mesmo procedimento da anterior! O que vai variar é a gravidade no P ó l o   N o r t e , que dessa vez vai valer 9,83   m / s ² .

Logo;

T = 2 π L g P ó l o - N o r t e

T = 2 π 1,000   m 9,83   m / s ²

T ≅ 2,004   s

Multiplicando por 100 pra achar o período de 100 oscilações...

T P ó l o - N o r t e = 100 T

T P ó l o - N o r t e = 100 ⋅ ( 2,004   s )

T P ó l o - N o r t e = 200,4   s

Passo 3

c) Aqui, o objetivo é achar a diferença entre os dois tempos anteriores!

Bem! Essa diferença vale...

∆ T = T e q u a d o r - T P ó l o - N o r t e

∆ T = 200,9   s - 200,4   s

∆ T = 0,5   s

A diferença entre as duas respostas é de 0,5   s , e essa diferença é bastante mensurável com o uso de um cronômetro manual.

Passo 4

d) Peguemos novamente a fórmula do período...

T = 2 π L g

Como o que queremos dessa vez é o valor da gravidade, então bora isolar o g ...

T = 2 π L g

T 2 4 π 2 = L g

g = 4 π 2 L T 2

Como nos foi dado o período de 100 oscilações, para encontrar o valor de 1 oscilação, basta dividir esse período por 100 ...

T = 201,0   100   s

T = 2,010   s

Agora ficou fácil encontrar a gravidade na montanha! Basta tacar na fórmula...

g m o n t a n h a = 4 π 2 ⋅ ( 1,00   m ) ( 2,010   s ) 2

g m o n t a n h a = 9,77   m / s ²

E pronto! A gravidade diminuiu! Isso acontece porque a gravidade diminui conforme o aumento da distância em relação ao centro da Terra.

Resposta

a)

T e q u a d o r = 200,9   s

b)

T P ó l o - N o r t e = 200,4   s

c)

∆ T = 0,5   s

d)

g m o n t a n h a = 9,77   m / s ²

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