Enunciado

Determine a amplitude angular θ m das oscilações de um pêndulo simples para a qual a diferença entre o torque restaurador necessário para o movimento harmônico simples e o torque restaurador verdadeiro é igual a 1,0 % . (Veja “Expansões Trigonométricas” no apêndice E.)

Passo 1

Tá, essa questão é bastante específica, e até recomenda que você leia o apêndice mencionado ali. Mas não se preocupe, dá pra resumir um pouco aqui.

Sabe aquela equação que você costuma usar pro movimento harmônico simples?

x t = x m . cos ⁡ ( ω t + φ )

Então, ela é a solução daquela EDO do oscilador harmônico.

Quando a gente monta essa EDO pro caso do pêndulo, acabamos sendo obrigados a fazer uma aproximação pro torque que puxa o pêndulo de volta pro ponto de equilíbrio.

Sem entrar em muitos detalhes, a aproximação é essa aqui:

τ = - m g L . sen ⁡ θ ≈ - m g L θ

Onde L é comprimento do pêndulo. Ou seja, ela pressupõe o seguinte:

sen ⁡ θ ≈ θ  

Onde θ é o ângulo de desvio da corda em relação ao equilíbrio. Essa aproximação é muito boa quando o ângulo não passa de um valor muito alto.

Passo 2

A questão quer saber qual é o ângulo de desvio máximo, quando o “erro” dessa aproximação aí é igual a 1,0 % , então vamos achar uma fórmula pra calcular esse erro.

Usando a fórmula padrão pro erro relativo:

V a l o r   r e a l - V a l o r   a p r o x i m a d o V a l o r   r e a l = 0,01

Achamos o seguinte:

- m g L . sen ⁡ θ - - m g L θ - m g L . sen ⁡ θ = 0,01

Vamos cortar todos os m g L :

- sen ⁡ θ + θ - sen ⁡ θ = 0,01

1 - θ sen ⁡ ( θ ) = 0,01

Passo 3

Resolver essa equação aí é um problemaço. Você pode ou tentar usar algum método numérico, usar uma expansão de Taylor ou simplesmente chutar alguns valores na calculadora até achar uma resposta próxima.

Obs.: Não se preocupe, essa é uma questão de “aprofundamento”, não deve aparecer em provas justamente por ter uma equação que não tem solução analítica.

Resolvendo no computador, achamos o seguinte:

θ ≈ 0,24   r a d

Ou seja, esse é ângulo de desvio que gera um erro de 1 % . Se o ângulo de desvio do pêndulo passar disso, vai estourar o limite de erro que a questão estipulou.

Portanto:

θ m á x ≈ 0,24   r a d ≈ 14 °

Resposta

θ ≈ 0,24   r a d

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