Enunciado

51. ( a ) Qual deveria ser a auto-indutância de um solenoide para que ele armazenasse 10,0   J de energia, quando uma corrente de 1,50   A passa por ele? ( b ) Supondo que o diâmetro da seção reta do solenoide seja igual a 4,0   c m e que suas bobinas possam ser enroladas a uma densidade de 10   b o b i n a s / m m , qual seria o comprimento do solenoide? (Veja o Exercício 30.11 . ) Esse comprimento é viável para o uso rotineiro no laboratório?

Passo 1

O que temos que encontrar de primeira é a auto-indutância, que nada mais que a indutância, mas o que temos de informação é a energia e a corrente, então podemos usar a seguinte fórmula:

U = 1 2 L I 2

Então basta isolar L e achamos com tranquilidade o seu valor.

Para o item ( b ) vamos nos aproveitar do resultado do exercício 30.11 , que mostra que a indutância pode ser dada por:

L = μ 0 A N 2 l

Onde l é o comprimento que queremos encontrar.

Temos que A é a área da seção reta do solenoide que é um círculo, assim:

A = π r 2

Nós não temos o número de bobinas N , mas temos a densidade de bobinas por unidade de comprimento, então podemos expressar N da seguinte maneira:

N = β l

Onde β é a densidade informada no enunciado.

β = 10   b o b i n a s / m m

Ou

β = 10 * 10 3   b o b i n a s / m

Vamos parti para as contas então.

Passo 2

Como foi dito no passo 1 , temos a seguinte fórmula que relaciona energia e indutância.

U = 1 2 L I 2

Isolando L , temos:

⇒ L = 2 U I 2

Agora substituindo os valores que o enunciado nos deu, temos:

L = 2 ( 10 ) ( 1,5 ) 2

= 20 2,25

Assim, temos:

L = 8,89   H

Passo 3

Agora para achar o comprimento l , vamos jogar todas as informações que achamos no passo 1 , na fórmula para que pegamos emprestada de outro exercício para a indutância, assim:

L = μ 0 A N 2 l

⇒ L = μ 0 l π r 2 β 2 l 2

⇒ L = μ 0 π r 2 β 2 l

Isolando l , temos:

l = L μ 0 π r 2 β 2

Substituindo os valores que temos para cada termo, ficamos com:

l = 8,89 ( 4 π * 10 - 7 ) π ( 0,02 ) 2 ( 10 * 10 3 ) 2

= 8,89 1,57 * 10 - 1

Então temos que:

l = 56,2   m

Bem grande o comprimento, então com certeza isso não é fácil de fazer em um laboratório convencional de física.

Resposta

( a )

L = 8,89   H

( b )

l = 56,2   m

Não é viável para o uso em laboratório.

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