Enunciado

Um disco fino de 5.0 kg com um raio de 20 cm é livre para rotacionar em torno de um eixo horizontal fixo perpendicular ao disco, passando pela sua borda. O disco é deslocado levemente para fora do equilíbrio e então é solto. Encontre o período para o movimento harmônico simples subsequente.

Passo 1

Para determinarmos o período do movimento, vamos precisar usar a equação de período para um oscilador de torção:

T = 2 π I M g D

Passo 2

Nesse caso, o momento de inércia não é o momento de inércia do disco, pois o eixo não passa pelo seu centro de massa, e sim pela borda, então precisaremos usar o teorema dos eixos paralelos para obtermos o momento de inércia em relação à borda do disco:

I = I c m + M R 2

Sendo I c m o momento de inércia em relação a um eixo que passa no centro de massa do disco, que é:

I c m = 1 2 M R 2

Nosso momento de inercia fica:

I = 1 2 M R 2 + M R 2 = 3 2 M R 2

Passo 3

Substituindo na equação do período:

T = 2 π 3 2 M R 2 M g D

Como, D é a distancia do centro de massa até o eixo de rotação:

D = R

Ficamos com:

T = 2 π 3 2 M R 2 M g R

Simplificando:

T = 2 π 3 R 2 g

Substituindo os valores de cada grandeza:

T = 2 π 3 ( 20   c m ) 2 9.81 m s 2 = 1.1   s

Resposta

T = 1.1   s

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