Enunciado

Um pêndulo simples de comprimento L é preso a um carrinho de grande massa que desliza sem atrito por um plano inclinado em um ângulo θ com a horizontal, como mostra a Figura 14-28. Encontre o período de oscilação para pequenas oscilações deste pêndulo.

Passo 1

Nesse problema vamos precisar considerar dois referenciais para modelarmos o sistema, um deles é o do carrinho e o outro do plano inclinado, para podermos observar a aceleração da massa em termos dos dois referenciais e então calcularmos o período que é pedido.

Pela Segunda Lei de Newton no referencial do plano inclinado:

T + m g = m a m p

Onde os termos em negrito são vetores e a m p é a aceleração da massa em relação ao plano.

Passo 2

Essa aceleração pode ser escrita como a soma da aceleração da massa em relação ao carrinho a m c com a aceleração do carrinho em relação ao plano a c p :

a m p = a m c + a c p

Substituindo na equação do Passo 1:

T + m g = m a m c + a c p

Rearranjando os termos:

T + m g - a c p = m a m c

E essa será a segunda Lei de Newton para a massa no referencial do carrinho, que está acelerado.

O termo entre parênteses será um novo vetor, que chamaremos de gravidade efetiva g e f f :

g e f f = g - a c p

Passo 3

Agora vamos dar uma olhada no esquema abaixo dos três vetores que escrevemos acima:

A gravidade efetiva será igual a soma do vetor da gravidade com o oposto da aceleração do carrinho em relação ao plano, já que o carrinho está descendo, então o vetor aponta para cima.

Pela lei dos cossenos, podemos calcular o valor da gravidade efetiva, mas antes podemos escrever a c p como:

a c p = g s e n θ

E a gravidade efetiva será:

g e f f 2 = g 2 + g 2 s e n 2 θ - 2 g g s e n θ c o s β

Como β e θ são complementares, c o s β = s e n θ , então:

g e f f 2 = g 2 + g 2 s e n 2 θ - 2 g g s e n θ s e n θ

g e f f 2 = g 2 + g 2 s e n 2 θ - 2 g 2 s e n 2 θ

g e f f 2 = g 2 1 - s e n 2 θ = g 2 c o s 2 θ

E então:

g e f f = g c o s θ

Passo 4

Agora que temos a gravidade efetiva, basta escrevermos a Segunda Lei de Newton em termos da variável angular ϕ e o problema torna-se unidimensional. A tração será zero, pois a força é sempre paralela ao fio do pendulo, não produzindo variação angular e a aceleração tangencial pode ser escrita em termos do comprimento do pendulo e da segunda derivada do ângulo:

a = L d 2 ϕ d t 2

A Segunda Lei de Newton então fica:

0 - m g e f f s e n ϕ = m L d 2 ϕ d t 2

E o termo m g e f f s e n ϕ aparece pela projeção do vetor da gravidade efetiva com a direção perpendicular ao fio (que causará o movimento do pêndulo)

Como ϕ está em ângulos pequenos, s e n ϕ ≈ ϕ . Então:

- m g e f f ϕ = m L d 2 ϕ d t 2

m L d 2 ϕ d t 2 + m g e f f ϕ = 0

Reescrevendo:

d 2 ϕ d t 2 + g e f f L ϕ = 0

Que é a equação de movimento harmônico simples.

Passo 5

Dela podemos tirar o ω :

ω = g e f f L

E então calcularmos o período de oscilações:

T = 2 π L g e f f = 2 π L g c o s θ

Resposta

T = 2 π L g c o s θ

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