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A Figura 14-32 mostra o pêndulo de um relógio na casa da sua avó. A haste uniforme de comprimento L = 2,00 m tem uma massa m = 0,800 kg. Anexado à haste está um disco uniforme de massa M = 1,20 kg e raio de 0,150 m. O relógio é construído para manter o tempo perfeito se o período do pêndulo for exatamente de 3,50 s. (a) Qual deve ser a distância d para que o período deste pêndulo seja de 2,50 s? (b) Suponha que o relógio atrase 5,00 min por dia. Para garantir que sua avó não se atrase para as festas de acolchoados, decida ajustar o relógio novamente para o período adequado. A que distância e em que direção você deve mover o disco para garantir que o relógio mantenha o tempo perfeito?

Passo 1

a) Percebe que temos um pêndulo estranho formado por uma haste e um disco, então ele é o que chamamos de um pêndulo físico. E queremos d para que o período que antes era de 3,5   s seja de 2,5 s .

Podemos usar a equação do período de um pêndulo físico para resolvermos a letra (a):

T = 2 π I M t o t g D

Vamos ver cada variável dessa. Nesse caso, D é a distância entre o eixo de rotação e o centro de massa do nosso pêndulo. Se a gente considerar que a origem do nosso sistema está no próprio eixo de rotação, D vai ser igual ao módulo da posição do CM, então:

D = y c m

Por se tratar de uma altura, estou chamando a posição do centro de massa de y c m .

Vamos achar esse y c m . Precisamos escrever a posição do centro de massa em termos da distância d (porque ela é uma incógnita). E para isso, usaremos a relação para achar o CM de uma figura composta:

y c m = m h a s t e y c m h a s t e + m d i s c o y c m d i s c o m h a s t e + m d i s c o

Para saber a posição do centro de massa de cada um desses objetos, têm uma figura esperta aqui, olha só:

Imagina que o eixo y está para baixo e o eixo x está para a direita. A origem deles é no eixo de rotação (onde o pêndulo está pendurado). O CM da barra fica em sua metade e o disco em seu centro.

Sendo assim, teremos:

y c m = m L 2 + M d m + M

y c m = 0,8 × 2 2 + 1,2 × d 0,8 + 1,2 = 0,8 + 1,2 × d 2

y c m = 0,4 + 0,6 d

D = 0,4 + 0,6 d

Passo 2

Agora vamos ver I . Esse é o momento de inércia da nossa peça toda, em relação ao eixo de rotação.

Esse pêndulo físico é composto por dois objetos, uma haste delgada e um disco.

Para calcular o seu momento de inércia, teremos que ele será a soma dos dois momentos de inércia, em relação ao eixo de rotação

I = I H a s t e + I D i s c o

Vamos começar calculando o momento de inércia do disco. Sabemos que o momento de inércia do disco com relação ao seu centro de massa é:

I D i s c o C M = M R 2 2

Onde M é a massa do disco e R é o raio do disco.

No entanto, o eixo de rotação não passa pelo centro de massa do disco, o eixo é o eixo do relógio que está a uma distância d do centro de massa do disco:

Por conta disso, precisaremos usar o teorema dos eixos paralelos, que nos dá o momento de inércia do disco com relação a esse eixo, que eu to chamando de eixo O :

I D I S C O O = I D I S C O C M + M d 2

Onde d é a distância entre os eixos, que no caso, é a própria distância d que queremos encontrar.

Com isso, teremos para o disco:

I D I S C O O = M R 2 2 + M d 2

Agora para a haste, sabemos que o momento de inércia de uma barra fina homogênea, para um eixo que passe no seu centro de massa, é:

I H A S T E C M = m L 2 12

Onde m é a massa da barra e L é o seu comprimento.

No entanto, o eixo de rotação não passa no centro de massa da barra e sim lá em cima:

E por isso, vamos precisar do teorema dos eixos paralelos aqui também.

I H a s t e O = I H a s t e C M + m d 2

Aonde aqui a distância entre os eixos será igual a metade do comprimento da barra L / 2

I H a s t e O = m L 2 12 + m L 2 2

I H a s t e O = m L 2 12 + m L 2 4

E por fim, teremos:

I H a s t e O = m L 2 3

Agora, é só somar esses dois:

I = I H a s t e O + I D i s c o O

I = M R 2 2 + M d 2 + m L 2 3

Substituindo valores numéricos para todas as grandezas na equação do momento de inercia:

I = 1,2 × 0,15 2 2 + 1,2 d 2 + 0,8 × 2 2 3

I = 1.08 + 1,2 d 2

Passo 3

Vamos voltar na nossa expressão para o período:

T = 2 π I M t o t g D

Podemos usa-la para achar d para que T = 2,5 s como ele pede. M t o t é massa total do pêndulo

M t o t = m + M = 0,8 + 1,2 = 2   k g

Temos o valor e a expressão de todas essas variáveis. Vamos isolar I e D que dependem de d :

I D = M t o t T 2 g 4 π 2

Substituindo as expressões que achamos e os dados do enunciado, lembrando que g = 9,8   m / s 2

I D = M t o t T 2 g 4 π 2

1,08 + 1,2 d 2 0,4 + 0,6 d = 2,0 × 9,8 × 2,50 2 4 π 2

Isolando d e resolvendo:

d = 1.64 m

Ufa! Prontinho!

Passo 4

b) Cara, o relógio foi projetado para medir o tempo perfeitamente se

T c o r r e t o = 3,5   s

Então se ele está medindo o tempo errado, significa que esse período está errado. E isso é causado pela posição errada de d .

Ele diz que o relógio se atrasa 5 minutos a cada dia. Então, num dia começando 00:00h, 24 horas depois, ele não vai estar em 00:00h, mas em 23:55h.

Como um dia tem 1440 minutos, quer dizer que com valor de d atual, ele percorre a distância que representa 1435 minutos.

Imagina que dentro dos 1440 minutos ele deveria percorrer os 360 ° do relógio (dar aquela volta completa). Mas em vez disso, ele deixa de percorrer o equivalente a 5   m i n , que pode ser escrito em como uma fração de 360 ° assim:

5 1440 360 °

Que é a fração que representa 5 minutos no relógio. Então, na verdade, ele percorre

360 ° - 5 1440 360 ° = 1435 1440 360 °

Mas pensa comigo: o ponteiro sempre mantém a mesma velocidade né? Então quer dizer que essa distância percorrida vai ser proporcional ao tempo. Assim, a gente pode fazer uma regra de 3 entre o período do pêndulo que faz o ponteiro se mover e a distância percorrida por ele.

Temos que no período T , que o pêndulo tem antes de arrumar d , ele percorre 1435 1440 360 ° .

Mas no período depois da correção T c o r r e t o , ele vai percorrer 360 ° . Então temos algo assim

T -   1435 1440 360 ° T c o r r e t o - 360 °

Multiplicando cruzado

360 ° T = 1435 1440 360 °   T c o r r e t o

1440 T = 1435 T c o r r e t o

Isolando T e resolvendo:

T = 1435 1440 T c o r r e t o = 1435 1440 3.50 s = 3 . 48784 s

Descobrimos o período atual do relógio que precisa ser arrumado.

Passo 5

Agora precisamos descobrir d para esse período errado e d para o T correto e fazer a diferença entre os dois para saber o quanto a gente precisa mover o disco.

Vamos usar a equação do passo 3:

I D = M t o t T 2 g 4 π 2

Lembrando que

M t o t = 2   k g

I = 1.08 + 1,2 d 2

D = 0,4 + 0,6 d

g = 9,8 m / s 2

Para T = 3 , 48784   s :

1,08 + 1,2 d 2 0,4 + 0,6 d = 2,0 × 9,8 × 3 , 48784 2 4 π 2

d = 3 . 3519 m

Para T c o r r i g i d o = 3,5 s :

1,08 + 1,2 d ' 2 0,4 + 0,6 d ' = 2,0 × 9,8 × 3 , 5 2 4 π 2

d ' = 3.37 49 m

E fazemos a diferença entre os dois valores para sabermos o quanto precisamos subir o pendulo para que o relógio volte a funcionar de acordo com a maneira como foi construído:

∆ d = d ' - d = 0,023 = 2.3   c m

Precisamos mover então nosso disco de 2,3   c m para baixo (aumentando d )

Resposta

a d = 1.64   m

b ∆ d = 2.3 c m

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