Enunciado

Um disco de massa M , preso por uma mola de constante elástica k e massa desprezível a uma parede vertical, desliza sem atrito sobre uma mesa de ar horizontal. Um bloquinho de massa m está colocado sobre o disco, com cuja superfície tem uma coeficente de atrito estático μ e . Qual é a amplitude máxima de oscilação do disco para que ao bloquinho não escorregue sobre ele?

Passo 1

Vamos começar calculando qual é a maior força que o atrito estático pode exercer sobre o bloco de massa m :

F a t = μ e N

Como o bloco está sobre uma superfície horizontal, a força normal deve ser igual em módulo à força peso, então:

F a t = μ e m g

Ou seja, se uma força maior do que essa for aplicada sobre o bloco, ele vai deslizar!

Pela segunda lei de Newton, essa força “corresponde” à seguinte aceleração:

m a m á x = μ e m g

a m á x = μ e g

Essa é a maior aceleração que o atrito é capaz de “transmitir” do bloco grande para o bloquinho. Acima disso, o bloquinho vai deslizar.

Passo 2

Agora vamos encontrar um valor para a aceleração desse conjunto. Começamos com uma equação geral para o oscilador harmônico:

x t = A cos ⁡ ω t + ϕ

Onde a frequência angular é:

ω = k M + m

Podemos derivar duas vezes para encontrar a aceleração em função do tempo:

x ˙ t = - A ω sen ⁡ ω t + ϕ

x ¨ t = - A ω 2 cos ⁡ ω t + ϕ

Então o valor máximo que a aceleração x ¨ atinge é:

x ¨ m á x = A ω 2

Passo 3

Então, para garantir que o nosso limite de a m á x não será ultrapassado, a amplitude deve ser a seguinte:

a m á x = A ω 2

μ e g = A ω 2

A = μ e g ω 2

A = μ e g k M + m

Resposta

A amplitude máxima é A = μ e g k M + m .

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