Enunciado

34. Um disco de metal sólido, uniforme, de massa igual a 6,50   k g e diâmetro igual a 24,0   c m está suspenso num plano horizontal, sustentado em seu centro por um fio de metal na vertical. Você descobre que é preciso uma força horizontal de 4,23   N tangente a borda do disco para girá-lo de 3,34 ° , torcendo, assim, o fio de metal. A seguir você remove essa força e liberta o disco a parti do repouso. ( a ) Qual é a constante de torção do fio de metal? ( b ) Qual é a frequência e o período de oscilações de torção do disco? ( c ) Escreva a equação do movimento para θ ( t ) do disco.

Passo 1

Para achar a constante de torção, vamos lembrar de como é definido o torque em um M H S angular é dado por:

τ z = - κ θ

Onde κ é a constante de torção que queremos e θ o deslocamento angular.

Então basta isolar a constante que queremos saber e ficamos com:

κ = - τ z θ

Só que o enunciado não nos fala o valor do torque, para isso vamos lembrar a outra fórmula para o torque de uma força, que é:

τ = F d sin ⁡ θ

Sendo d a distância do ponto de aplicação da força até o eixo de rotação e θ o ângulo entre a força e a linha que sai do eixo até o ponto de aplicação. No nosso caso como é um disco o d = R , onde R é o raio do disco e θ = 90 ° já que a força é aplicada tangencialmente ao disco, então ficamos com:

τ z = - F R

Ficamos com um torque negativo, pois ele definido da forma anterior também era negativo então não faz sentido ser positivo agora.

Então a equação que chegamos para o κ fica da seguinte maneira:

κ = F R θ

Agora para achar a frequência basta usar a fórmula para o M H S angular que é fornecida pelo livro (Eq. 13.24 ).

f = 1 2 π κ I

Onde I é o momento de inércia de um disco, que é:

1 2 M R 2

Tendo achado a frequência, achar o período é fácil, já que:

T = 1 f

Escrever a equação de movimento para θ é simples, basta pegar a seguinte equação, que apresentada no livro na página 50 .

θ t = Θ cos ⁡ ( ω t + ϕ )

Podemos assumir que ϕ = 0 isso não implica em nada, só no fato de onde o movimento começaria originalmente em t = 0 , mas o movimento continua o mesmo.

Agora, para achar ω , basta utilizar a fórmula que está presente na mesa página da anterior do livro, que é a seguinte:

ω = κ I

E pronto, teremos tudo que precisamos.

Passo 2

Vamos primeiro então achar a constante de torção, então:

κ = F R θ

Lembrando que o valor de θ tem que ser em radianos, assim 3,34 ° = 0,0583   r a d , então:

⇒ κ = 4,23 * 0,12 0,0583

= 0,5076 0,0583

Então temos que:

κ = 8,71   N ⋅ m / r a d

Passo 3

Vamos agora achar a frequência do movimento e logo depois o período, então temos que:

f = 1 2 π κ I

⇒ f = 1 2 π κ 1 2 M R 2

Substituindo o que sabemos, temos:

⇒ f = 1 2 π 8,71 1 2 6,5 0,12 2

= 1 2 π 8,71 0,0468

= 1 2 π 186,11

Então temos que:

f = 2,71   H z

Assim, tendo a frequência vamos achar o período.

T = 1 f

⇒ T = 1 2,71

= 0,369   s

Passo 4

Agora vamos montar a equação para θ , temos o seguinte inicialmente.

θ t = Θ cos ⁡ ( ω t + ϕ )

Onde já sabemos que Θ = 3,34 ° já que é de onde começa o movimento e que ϕ = 0 , então só falta achar ω , vamos achar através da seguinte fórmula:

ω = κ I

Substituindo o que sabemos, temos:

ω = κ 1 2 M R 2

⇒ ω = 8,71 0,0468

Assim, temos que:

ω = 13,64   r a d / s

Então nossa equação para θ fica assim:

θ t = 3,34 ° cos ⁡ ( 13,64 t )

Resposta

a

κ = 8,71   N ⋅ m / r a d

( b )

f = 2,71   H z

T = 0,369   s

( c )

θ t = 3,34 ° cos ⁡ ( 13,64 t )

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