Enunciado

63. MHS no motor de um carro. O movimento de um pistão no interior do motor de um carro (Figura 13.35 ) é aproximadamente um M H S . a ) Sabendo que o percurso (o dobro da amplitude) é igual a 0,100   m e que o motor gira com 3500   r e v / m i n , calcule a aceleração do pistão no ponto final do percurso. b ) Sabendo que a massa do pistão é igual a 0,450   k g , qual é a força resultante exercida sobre ele nesse ponto? c ) Calcule a velocidade e a energia cinética do pistão no ponto médio do percurso. d ) Qual é a potência média necessária para acelerar o pistão do repouso até a velocidade calculada no item ( c ) ? e ) Se o motor girar a 7000   r e v / m i n , quais serão as respostas das partes b ,   ( c ) e ( d ) ?

Passo 1

Vamos ver o que cada item precisa para ser resolvido.

A aceleração do pistão no ponto mais baixo é máxima, já que o pistão realiza um M H S , assim temos que:

a m á x = ω 2 A

O enunciado fala que o percurso de 0,100   m é o dobro da amplitude, então:

A = 0,05   m

A força resultante no pistão nesse ponto pode ser encontrada através da segunda lei de Newton, que é:

F R = m a

Nesse caso teremos a aceleração máxima calculada no item anterior, então:

F R = m a m á x

A velocidade em um M H S pode ser encontra através da seguinte fórmula:

v = ω A

E se temos a velocidade fica fácil achar a energia cinética, que é dada por:

K = 1 2 m v 2

Para achar a potência utilizada para sair do repouso até o ponto do item ( c ) , podemos utilizar a seguinte fórmula:

P = W t

Mas lembrando que trabalho é igual a variação de energia cinética, temos:

P = Δ K t

Só que no repouso não temos energia cinética, então só a energia calculada no item ( c ) colabora para a potência.

Passo 2

Vamos achar a aceleração máxima do pistão, temos o seguinte:

a m á x = ω 2 A

Sabendo que ω = 3500   r e v / m i n = 366,5   r a d / s e que A = 0,05   m , temos:

a m á x = 3 66,5 2 ( 0,05 )

⇒ a m á x = 6,72 * 10 3   m / s 2

Passo 3

Agora vamos achar a força máxima no ponto final do percurso, temos:

F m á x = m a m á x

Sabendo que a m á x = 6,72 * 10 3   m / s 2 e que m = 0 , 4 5 0   k g , temos:

F m á x = 0,450 ( 6,72 * 10 3 )

⇒ F m á x = 3,02 * 10 3   N

Passo 4

Vamos encontrar a velocidade e assim que acharmos a velocidade poderemos calcular a energia cinética.

Temos que:

v = ω A

Sabendo que ω = 3500   r e v / m i n = 366,5   r a d / s e que A = 0,05   m , temos:

v = ( 366,5 ) ( 0,05 )

= 18,3   m / s

Agora fica tranquilo acharmos a energia cinética, assim:

K = 1 2 m v 2

Sabendo que v = 18,3   m / s e que m = 0,450   k g , temos:

K = 1 2 0,450 18,3 2

⇒ K = 75,35   J

Passo 5

Agora vamos calcular a potência necessária para sair do repouso até o ponto mencionado no item ( c ) , temos:

P = Δ K t

Mas como só temos energia cinética no final, que é a mesma que calculamos acima, ficamos com:

P = 75,35 t

O tempo que ele leva pra sair da posição inicial até o ponto médio do percurso é um quarto do período, assim:

t = T 4

= 2 π 4 ω

= π 2 1 366,5

Então temos que:

t = 4,286 * 10 - 3   s

Então nossa potência fica:

P = 75,35 4,286 * 10 - 3

⇒ P = 17,6 * 10 3   W

Passo 6

Quando mudamos a frequência angular de 3500   r e v / m i n para 7000 r e v / m i n , todas as grandezas que calculamos até agora mudam, ficamos com os seguintes novos valores:

F m á x = 1,21 * 10 4 N

v = 36,6   m / s

K = 302   J

P = 1,41 * 10 5   W

Para achar esses valores basta repetir todas as contas que fizemos anteriormente colocando a nova frequência angular.

Resposta

a

a m á x = 6,72 * 10 3   m / s 2

( b )

F m á x = 3,02 * 10 3   N

( c )

v = 18,3   m / s

K = 75,35   J

( d )

P = 17,6 * 10 3   W

( e )

F m á x = 1,21 * 10 4 N

v = 36,6   m / s

K = 302   J

P = 1,41 * 10 5   W

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