Enunciado

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A distância entre as cidades A e B é l . Um avião faz uma viagem de ida e volta entre A e B , voando em linha reta, com velocidade V em relação ao ar. (a) Calcule o tempo total de voo, se o vento sopra com velocidade v , numa direção que forma um ângulo θ com a direção A B . Este tempo depende do sentido em que o vento sopra? (b) Mostre que a viagem de ida e volta só é possível se v < V , e calcule a relação entre o tempo de vôo t p a r a l e l o quando o vento sopra na direção A B e o tempo t p e r p e n d i c u l a r , quando sopra na direção perpendicular (este resultado é relevante na discussão da experiencia de Michelson e Morley); (c) Mosstre que, qualquer que seja sua direção, o vento sempre prolonga a duração da viagem de ida e volta.

Passo 1

O que a gente vai ter que reparar aqui é que o avião não pode viajar com sua velocidade em relação ao ar em direção a A B , porque o vento, apontando em direção diferente dessa, fará com que a soma vetorial das velocidades não permita que o avião chegue no destino.

A velocidade resultante vai depender do lado para onde a velocidade do avião aponta. Na ida, está a favor do movimento, mas na volta está contra! Então os tempos vão ser:

t i d a = l V 2 - v 2 s e n 2 θ + v c o s θ

t v o l t a = l V 2 - v 2 s e n 2 θ - v c o s θ

Então o tempo total é:

t t o t a l = t i d a + t v o l t a

t t o t a l = l V 2 - v 2 s e n 2 θ + v c o s θ + l V 2 - v 2 s e n 2 θ - v c o s θ

Fazendo o mmc:

t t o t a l = l 2 V 2 - v 2 s e n 2 θ V 2 - v 2 c o s 2 θ + s e n 2 θ

Da relação fundamental:

t t o t a l = l 2 V 2 - v 2 s e n 2 θ V 2 - v 2

t t o t a l = 2 l V 1 - v 2 V 2 s e n 2 θ 1 - v 2 V 2

Passo 2

Quando o vento é paralelo, θ = 0 ou θ = 180 ° .

t p a r a l e l o = l 2 V 2 V 2 - v 2

t p a r a l e l o = 2 l V V 2 - v 2

Quando o vento é perpendicular, θ = 90 ° ou θ = 270 ° .

t p e r p = l 2 V 2 - v 2 V 2 - v 2

t p e r p = 2 l V 2 - v 2

Daqui a gente sabe que:

V 2 - v 2 > 0

V > v

A razão é:

t c o m   v e n t o t s e m   v e n t o = 2 l V 1 - v 2 V 2 s e n 2 θ 1 - v 2 V 2 2 l V

t c o m   v e n t o t s e m   v e n t o = 1 - v 2 V 2 s e n 2 θ 1 - v 2 V 2

Passo 3

Queremos provar que essa fração é maior que 1 , ou seja, t c o m > t s e m .

1 - v 2 V 2 s e n 2 θ 1 - v 2 V 2 > 1

1 - v 2 V 2 s e n 2 θ > 1 - v 2 V 2

1 - v 2 V 2 s e n 2 θ > 1 - 2 v 2 V 2 + v 4 V 4

2 - s e n 2 θ > v 2 V 2

Agora pensa! O s e n 2 θ vai diminuir no máximo 1 daquele 2 , então o lado esquerdo é maior ou igual a 1 . Enquanto isso, o lado direito é uma fração menor que 1 , já que v < V . Então, o lado esquerdo é sempre maior que o direito, e está provado!

Resposta

t t o t a l = 2 l V 1 - v 2 V 2 s e n 2 θ 1 - v 2 V 2

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