Lista de Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo Bidimensional

Ver Teoria

Vista de um referencial O X Y Z fixo nas escretas e centrado no Sol, a Terra tem vetor velocidade dado em um certo instante por v → = v x i ^ + v y j ^ e um foguete em translação tem velocidade constante V → = - V j ^ , como mostra a figura. Considerando o foguete como um referencial com eixos coordenados O ' X ' , O ' Y ' , e O ' Z ' de mesmas direções e sentidos que os respectivos eixos O X , O Y e O Z , o vetor velocidade da Terra relativo a ele é

  1. v → ' = v x i ^ + v y j ^
  2. v → ' = v x i ^ + v y + V j ^
  3. v → ' = v x + V i ^ + v y + V j ^
  4. v → ' = v x i ^ + v y - V j ^
  5. v → ' = - v x + V i ^ - v y j ^

Ver solução completa

Um ônibus (ônibus 1) trafega com velocidade v → = 20 i + 36 j m / s em relação a Terra. Outro ônibus (ônibus 2) se aproxima do ônibus 1 com velocidade de v → = 25 i + 14 j m / s , também em relação à Terra.

  1. Qual a velocidade do ônibus 1 em relação ao ônibus 2?
  2. Qual é, aproximadamente, o módulo dessa velocidade?

Ver solução completa

Um carro move-se com velocidade constante de 60 km/h. Começa a chover e o motorista observa que as gotas de água da chuva caem formando um ângulo de 30° com a vertical. Considerando que, em relação à Terra, as gotas caem verticalmente, qual a velocidade em que as gotas de água caem em relação ao carro?

a) 30√3 km/h.

b) 60 km/h.

c) 120 km/h.

d) 30 km/h.

e) 80km/h.

Ver solução completa

Um rio de 200 m de largura corre com uma velocidade uniforme de 1,1   m / s através de uma floresta, na direção oeste. Um explorador deseja sair de uma pequena clareira na margem sul e atravessar o rio em um barco a motor que se move com uma velocidade escalar constante de 4,0   m / s em relação à água. Existe uma outra clareira na margem norte, 82   m   rio acima a partir de um ponto da margem sul, exatamente em frente à clareira. a   Em que direção o barco deve ser apontado para viajar em linha reta e chegar à clareira da margem norte? b   Quanto tempo o barco leva para atravessar o rio e chegar à clareira?

Ver solução completa

Duas partículas estão restritas a mover-se no plano x y . O movimento destas partículas é descrita pelas funções posição x 1 t = t 2 + t + 1 , x 2 t = 2 t 2 - 2 t + 3 , y 1 t = t + 3 e y 2 t = 2 t + 2 , onde a posição é medida em metros e o tempo t em segundos. Considere a direção i ^ na horizontal e j ^ na vertical.

a Determine os vetores posição r → 1 t e r → 2 t de cada partícula e o vetor posição relativa r → 12 t .

b   Para t = 0 ,faça um esquema no plano cartesiano dos vetores posição r → 1 e r → 2 e do vetor posição relativa r → 12 . Determine a distância entre as partículas.

c   Determine o(s) tempo(s) t para o(s) qual(is) as duas partículas colidem.

d   Determine a velocidade relativa, v → 12 , no(s) instante(s) no(s) qual(is) as partículas colidem.

Ver solução completa

Duas partículas ( 1 e 2 ) se movem ao longo do eixo x e y , respectivamente, com velocidades constantes v → 1 = 2 x ^   c m / s e v → 2 = 3 y ^   c m / s . Em t = 0   s elas estão nas posições: ( x 1 ; y 1 ) = ( - 3 ; 0 )   c m , ( x 2 ; y 2 ) = ( 0 ; - 3 )   c m .

a Esboce a situação descrita acima no plano x y no instante t = 0   s .

b Escreva algebricamente (usando versores indicados no enunciado) o vetor posição de cada uma das partículas.

c Determine o vetor que representa a posição relativa da partícula 2 com respeito à partícula 1 , como função do tempo.

d Determine o vetor velocidade relativa entre essas duas partículas.

Ver solução completa

Um ciclista trafega com velocidade v → = 3 i + 2 j m / s em relação a um observador em repouso no solo. Outra ciclista, que trafega com rapidez 4 m / s no sentido negativo do eixo x, observa o primeiro. Qual a velocidade do primeiro ciclista no referencial da segunda?

Ver solução completa

Um navio A está 4,0   k m ao norte e 2,5   k m a leste do navio B . O navio A está navegando com uma velocidade constante de 22   k m / h na direção sul; o navio B navega com uma velocidade constante de 40   k m / h em direção 37 ° ao norte do leste.

Escreva uma expressão para o vetor posição de A em relação à B em função do tempo R → A B ( t ) considerando o instante t = 0 como o instante e que os navios estão nas posições iniciais descritas acima. (Sugestão: faça um desenho para orientá-lo na sua solução posicionando o navio B na origem do sistema de coordenadas em t = 0 ).

Dados:

cos ⁡ 37 ° = 0,79 7

sen ⁡ 37 ° =   0,602

Ver solução completa

Observe a figura e leia atentamente o texto:

No instante t = 0   s , um carro, dirigido por Bruno B , se encontra na esquina de um cruzamento enquanto que outro carro, dirigido por Ângela ( A ) , está em uma rua a 10   m da esquina. Bruno viaja para Norte (eixo y ) enquanto Ângela viaja para o Leste (eixo x ). Em relação ao solo, as velocidades de Ângela v → A S e Bruno v → B S são constantes e têm mesmo módulo de 10   m / s .

a   Escreva o vetor velocidade de Ângela em relação a Bruno v → A B .

b   Encontre o vetor posição de Ângela em relação a Bruno r → A B , em função do tempo.

c   Qual é a aceleração relativa de Ângela em relação a Bruno?

Ver solução completa

Vista de um referencial O X Y Z fixo nas estrelas e centrado no Sol, a Terra tem vetor velocidade dado em um certo instante por v → = v x i ^ + v y j ^ e um foguete em translação tem velocidade constante V → = - V j ^ , como mostra a figura. Considerando o foguete como um referencial com eixos coordenados O ' X ' , O ' Y ' , e O ' Z ' de mesmas direções e sentidos que os respectivos eixos O X , O Y e O Z , o vetor velocidade da Terra relativo a ele é

  1. v → ' = v x i ^ + v y j ^
  2. v → ' = v x i ^ + v y + V j ^
  3. v → ' = v x + V i ^ + v y + V j ^
  4. v → ' = v x i ^ + v y - V j ^
  5. v → ' = - v x + V i ^ - v y j ^

Ver solução completa

Em um trecho retilíneo de um rio as águas têm velocidade relativa às margens v → A / M constante e a mesma em todos os pontos do trecho do rio. Um piloto deseja atravessar o rio de modo que a velocidade v → B / M de seu barco relativa às margens tenha o mesmo módulo que a velocidade das águas relativas às margens, v → B / M = v → A / M   . Além disso, ele deseja seguir uma trajetória retilínea de um ponto P 1 da margem até o ponto P 2 diretamente em frente a P 1 na margem oposta, como indica a figura. Podemos afirmar que o piloto deve imprimir ao barco uma velocidade v → B / A , relativa às águas de módulo

  1. 2 v → A / M ;
  2. v → A / M ;
  3. 3 2 v → A / M ;
  4. 2 2 v → A / M ;
  5. 1 2 v → A / M ;

Ver solução completa

Em um lago tranqüilo três barcos A , B e C têm velocidades respectivas v → A = v i ^ - v j ^ , v → B = v i ^ e v → C = - v i ^ + v j ^ ( v uma constante dada), todas relativas ao referencial constituído por um ônibus estacionado na margem com um sistema de eixos O X Y Z , sendo O X Y na horizontal, conforme a figura. Considere o barco A como um referencial com sistema de eixos O A X A Y A Z A , cada um deles com mesma direção e sentido dos respectivos eixos de O X Y Z . Em relação ao referencial do barco A as velocidades do ônibus, do barco B e do barco C são, respectivamente,

  1. v → ' O   = - v i ^ + v j ^ , v → ' B = v j ^ e v → ' C = - 2 v i ^ + 2 v j ^
  2. v → ' O   = v i ^ + v j ^ , v → ' B = v j ^ e v → ' C = 2 v i ^ + 2 v j ^
  3. v → ' O   = - v i ^ + v j ^ , v → ' B = v j ^ e v → ' C = - 2 v i ^ - 2 v j ^
  4. v → ' O   = v i ^ - v j ^ , v → ' B = v j ^ e v → ' C = 2 v i ^ + 2 v j ^
  5. Nenhuma das respostas anteriores

Ver solução completa

Um observador parado no solo vê um pacote caindo de um avião, com velocidade de módulo igual a v 1 , mas que faz um certo ângulo com a vertical; considere a Terra um referencial inercial. Simultaneamente o piloto do avião, que voa na horizontal com velocidade constante, vê o mesmo pacote caindo na vertical, com velocidade de módulo igual a v 2 . O módulo da velocidade do avião em relação ao observador no solo é

  1. v 1 2 - v 2 2
  2. v 1 2 + v 2 2
  3. v 2 + v 1
  4. v 2 - v 1
  5. v 1 - v 2

Ver solução completa

Duas escadas rolantes estão dispostas como mostra a figura. O ângulo de elevação θ de cada escada, em relação a horizontal é o mesmo. As escadas movimentam os degraus com velocidades constantes de mesmo módulo v , medidas em relação a um referencial fixo na Terra. Em um dado instante, duas pessoas A e B entram simultaneamente nas escadas, como mostra a figura, e ao entrarem permanecem paradas em relação aos respectivos degraus. Seja um referencial fixo em B e em translação relativa ao referencial da Terra. O módulo da velocidade de A em relação B enquanto A e B estão nas escadas é

(a) v → A / B = 0

(b) v → A / B = v sen ⁡ θ

(c) v → A / B não é constante

(d) v → A / B = 2 v cos ⁡ θ

(e) v → A / B = v cos ⁡ θ

Ver solução completa

Parado numa rua, embaixo de uma marquise, um homem vê as gotas de chuva caindo verticalmente com velocidade constante de módulo v 1 . Ao atravessar a rua (nivelada horizontalmente e plana) correndo em linha reta ele percebe que as gotas de chuva, durante a travessia, caem com um ângulo θ em relação à horizontal. Se ele atravessou a rua com velocidade de módulo v 2 constante em relação à Terra, a resposta correta que permite obter o ângulo θ , é

(a) tan ⁡ θ = v 2 / v 1 2 + v 2 2

(b) tan ⁡ θ = v 1 / v 1 2 + v 2 2

(c) tan ⁡ θ = v 1 2 + v 2 2 / v 2

(d) tan ⁡ θ = v 2 / v 1

(e) tan ⁡ θ = v 1 / v 2

Ver solução completa

Um homem a bordo de um bote a remo quer atravessar o canal entre São Sebastião e Ilha Bela no litoral norte de São Paulo de modo que a menor distância, que é de 3,0 km, seja percorrida. O homem consegue imprimir uma velocidade de módulo 2,0 m/s em relação à água. Considerando que no dia da travessia a correnteza no canal tem velocidade de 1,0m/s na direção perpendicular à direção da menor distância, a travessia demora:

  1. 10 3 s .
  2. 2 x 10 3 s .
  3. 3 x 10 3 s .
  4. 1,5 x 10 3 s .
  5. 3 x 10 3 s .

Ver solução completa

As águas de um rio correm a uma velocidade de 3   m / s . Uma lancha consegue se locomover a uma velocidade de 5   m / s em relação à água. Considerando que o rio tem uma largura de 100 metros, e a lancha ajusta a direção da sua trajetória de forma a cruzar o rio perpendicularmente às suas margens, em quanto tempo ela chega ao outro lado?

  1. 25 s .
  2. 20 s .
  3. 15 s .
  4. 50 s .
  5. 125 s .

Ver solução completa

Duas partículas ( 1 e 2 ) se movem ao longo do eixo x e y , respectivamente, com velocidades constantes v 1 → = 2 x ^   c m / s e v 2 → = 3 y ^   c m / s . Em t = 0   s elas estão nas posições: ( x 1 , y 1 ) = ( - 3,0 )   c m , ( x 2 , y 2 ) = ( 0 , - 3 )   c m .

a ) Esboce a situação descrita acima no plano x y no instante t = 0   s .

b ) Escreva algebricamente (usando versores indicados no enunciado) o vetor posição de cada uma das partículas.

c ) Determine o vetor que representa a posição relativa da partícula 2 com respeito à partícula 1 , como função do tempo.

d ) Determine o vetor velocidade relativa entre essas duas partículas.

Ver solução completa

Duas partículas estão restritas a mover-se no plano x y . O movimento destas partículas é descrita pelas funções posição x 1 t = t 2 + t + 1 , x 2 t = 2 t 2 - 2 t + 3 , y 1 t = t + 3 e y 2 t = 2 t + 2 , onde a posição é medida em metros e o tempo t em segundos. Considere a direção i ^ na horizontal e j ^ na vertical.

(a) Determine os vetores posição r 1 → t e r 2 → t de cada partícula e o vetor posição relativa r 12 → t .

(b) Para t = 0 ,faça um esquema no plano cartesiano dos vetores posição r 1 → e r 2 → e do vetor posição relativa r 12 → . Determine a distância entre as partículas.

(c) Determine o(s) tempo(s) t para o(s) qual(is) as duas partículas colidem.

(d) Determine a velocidade relativa, v 12 → , no(s) instante(s) no(s) qual(is) as partículas colidem.

Ver solução completa

Observe a figura e leia atentamente o texto:

No instante t = 0   s , um carro, dirigido por Bruno B , se encontra na esquina de um cruzamento enquanto que outro carro, dirigido por Ângela ( A ) , está em uma rua a 10   m da esquina. Bruno viaja para Norte (eixo y ) enquanto Ângela viaja para o Leste (eixo x ). Em relação ao solo, as velocidades de Ângela v → A S e Bruno v → B S são constantes e têm mesmo módulo de 10   m / s .

a) Escreva o vetor velocidade de Ângela em relação a Bruno v → A B .

b) Encontre o vetor posição de Ângela em relação a Bruno r → A B , em função do tempo.

c) Qual é a aceleração relativa de Ângela em relação a Bruno?

Ver solução completa

Um navio A está 4,0   k m ao norte e 2,5   k m a leste do navio B . O navio A está navegando com uma velocidade constante de 22   k m / h na direção sul; o navio B navega com uma velocidade constante de 40   k m / h em direção 37 ° ao norte do leste.

c ) Escreva uma expressão para o vetor posição de A em relação à B em função do tempo R A B → ( t ) considerando o instante t = 0 como o instante e que os navios estão nas posições iniciais descritas acima. (Sugestão: faça um desenho para orientá-lo na sua solução posicionando o navio B na origem do sistema de coordenadas em t = 0 ).

Ver solução completa

A posição de um objeto O medida por um observador A , relativa a um sistema de coordenadas, é dada por r O A → = 6 t 2 - 4 t i → + - 3 t 2 j → + 3 k →   ( m ,   s ) . A posição deste mesmo objeto medida por um observador B , relativa a outro sistema de coordenadas é dada por r O B → = 6 t 2 + 3 t i → + - 3 t 2 + 2 j → + 3 k →   ( m ,   s ) .

a) Mostre que a aceleração do objeto O é a mesma medida por ambos observadores.

b) Determine os vetores posição e velocidade medidos pelo observador B , relativos ao observador A .

Ver solução completa

Uma bola é lançada horizontalmente pela janela de um carro em movimento, perpendicularmente em relação à direção do movimento do carro. A velocidade do carro em relação ao chão é de 4   m / s , e a bola é lançada a 1   m / s em relação ao lançador. Ignorando a resistência do ar, qual é aproximadamente a velocidade da bola em relação ao chão?

a) 5   m / s

b) 3   m / s

c) 4 , 12   m / s

d) 3.87   m / s

e) 1   m / s

Ver solução completa

A neve cai, verticalmente, com uma velocidade constante de v   m / s . O motorista de um carro, viajando em linha reta numa estrada com uma velocidade de u   m / s , vê os flocos de neve caírem formando um ângulo com a vertical. O valor deste ângulo é:

(a) a r c c o s v u

(b) a r c t a n u v

(c) a r c t a n h v u

(d) a r c s e n u v

(e) a r c t a n v u

Ver solução completa

Um nadador tenta atravessar um rio nadando na direção perpendicular às suas margens, a uma velocidade de 2   m / s . Porém uma correnteza de velocidade 4   m / s desloca o nadador lateralmente. Qual é aproximadamente o módulo da velocidade do nadador em relação à margem?

a) 4,5   m / s

b) 3,2   m / s

c) 5,4   m / s

d) 4   m / s

e) 2   m / s

Ver solução completa

Parte I. Um estudante de física está dentro de um carro que segue a uma velocidade constante de 114   k m / h na direção norte sob uma forte chuva que bate no carro da direção noroeste ( 45 o a oeste do norte) com velocidade constante de 80   k m / h . Assinale as afirmativas verdadeiras sobre a velocidade do estudante em relação à chuva:

(a) seu módulo é igual a 57   k m / h .

(b) sua direção é para 45 o a norte do leste.

(c) seu módulo é igual a 81   k m / h .

(d) sua direção é para 45 o a sul do oeste.

(e) nenhuma das respostas é verdadeira.

Parte II. Suponha agora que dois pássaros, buscando abrigo contra a chuva, são vistos pelo estudante no carro: um pássaro ( A ) voando com velocidade constante de 10   k m / h na direção sudeste ( 45 o ao sul do leste) e outro pássaro ( B ) voando acelerado em uma direção desconhecida. O estudante determina a equação da trajetória do pássaro B dada por: r B E   ( t )   =   [ 2 + 5 t 2 i → +   3 t j →   -   20 t k → ] k m / h . Determine V B A , a velocidade do pássaro B em relação ao pássaro A .

Ver solução completa

Um jogador de handebol se desloca com velocidade de 4 m / s na direção perpendicular à linha de fundo da quadra adversária. Ele é capaz de lançar a bola com velocidade de módulo 8 m / s em relação a ele próprio. Exatamente antes de tocar a linha de fundo ele lança a bola de maneira que ela continue em jogo. No referencial do jogador, qual deve ser o ângulo mínimo com que o ele deve fazer o lançamento para que isso aconteça? Dê o valor do ângulo em relação à direção da corrida.

(a) 90 graus.

(b) zero.

(c) 120 graus.

(d) 180 graus.

(e) 60 graus.

Ver solução completa